演習問題1 略解

複素関数論演習問題 1 略解
1
2
1 1
117
44
1. (1) − − i (2)
+
i
2 2
625
625
√
π
π
π
= 2ei 6
2. (1) 3 + i = 2 cos + i sin
6
6
5π
5π
5
3i = 2 cos
+ i sin
= 2ei 3 π
3
3
4
−1
iθ
(3) −3 + 4i = 5 (cos θ + i sin θ) = 5e , θ = π − tan
3
π π
−1
（ここでは tan x は (− , ) の範囲とする．−3 + 4i のように第 2, 3 象限にある場合は注意．
）
2 2
3. (1) (x − 1)2 + y2 + (x + 1)2 + y2 < 4 (2) x2 − y2 < 1
√ π
5
1
π 3π
7π 9π
（図は略）
4. (1) (1 + i)10 = ( 2e 4 i )10 = 32e 2 πi = 32e 2 πi = 32i (2) z = 2eiθ , θ = ,
, π,
,
5 5
5 5
(2) 1 −
√
n−1
n−1
1 − zn
1 − zn
k
1. (1) z =
1 のとき
z である．よって lim
zk = n
=
= lim
z→1 1 − z
z→1
1−z
k=0
k=0
x2 + x3
(2) z が実軸上から 0 に近づくとき，
lim
= 0. 極限は存在すれば 0 であるが，実際
z=x→0, x∈R
x
2
3
2
z +z
|z | |z + 1|
z2 + z3
lim − 0 = lim
= lim |z| |z + 1| = 0 が成り立つ．よって lim
= 0.
z→0
z→0
z→0
z→0
z̄
|z|
z̄
( 1 )2 + 1
( 1 )2 + 1
= 1lim z1 2
= −1.
(3) { 与式 } = lim z1 2
z→∞ ( ) − 1
(z) − 1
z →0
z
2. (1) z = x + yi とおく．f(z) = z 2 = (x + yi)2 = (x2 − y2 ) + i(2xy) = u(x, y) + iv(x, y) とおくと，
∂u
∂v ∂u
∂v
， = −2y = −
よりコーシー・リーマンの関係式が成り立つ．よって f(z) は正則．
= 2x =
∂x
∂y ∂y
∂x
∂u
∂v
(2) z = x + yi とおく．f(z) = |z|2 = zz̄ = (x2 + y2 ) + 0i = u(x, y) + iv(x, y) とおくと，
= 2x =
,
∂x
∂y
∂u
∂v
よりコーシー・リーマンの関係式が成り立たない．よって f(z) は正則でない．
= 2y = −
∂y
∂x
3. (1) (x, y) = (r cos θ, r sin θ) より，
r
∂u
∂r
=
=
r
∂v
∂r
=
=
∂u ∂x ∂u ∂y
∂v
∂v
+
= r
cos θ −
sin θ
∂x ∂r
∂y ∂r
∂y
∂x
∂v
∂v ∂x ∂v ∂y
∂v
∂v
(−r sin θ) +
(r cos θ) =
+
=
∂x
∂y
∂x ∂θ
∂y ∂θ
∂θ
∂v ∂x ∂v ∂y
∂u
∂u
r
+
= r −
cos θ +
sin θ
∂x ∂r
∂y ∂r
∂y
∂x
∂u
∂u ∂x ∂u ∂y
∂u
∂u
(r cos θ) = −
−
= −
− (−r sin θ) −
∂x
∂y
∂x ∂θ
∂y ∂θ
∂θ
r
(2) u(r, θ) = r n cos nθ, v(r, θ) = r n sin nθ である．
r
∂u
∂v
= nr n cos nθ =
,
∂r
∂θ
r
∂u
∂v
= nr n sin nθ = −
∂r
∂θ
より，(1) で示したコーシー・リーマンの関係式が成り立つ．よって f(z) は正則．
4. (1)
∂2u ∂2u
∂2u
∂2u
= 6x,
= −6x より， 2 + 2 = 0．よって関数 u(x, y) は調和関数．
2
2
∂x
∂y
∂x
∂y
(2) f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) とする．まず，コーシー・リーマンの関係式より vx (x, y) =
−uy (x, y) = 6xy, vy (x, y) = ux(x, y) = 3x2 − 3y2 . つぎに vx を積分する．ϕ(y) を y のある関数し
て，v(x, y) = vx (x, y)dx = 3x2 y + ϕ(y) となる．これを y で偏微分すると vy (x, y) = 3x2 + ϕ (y) =
3x2 − 3y2 . よって ϕ (y) = −3y2 , ϕ(y) = −y3 + c（c: 定数）．よって v(x, y) = 3x2 y − y3 + c.

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