8.¨Ubung Zahlentheorie

8. Übung Zahlentheorie
Prof. Dr. Nebe
(SS 2016)
Aufgabe 22.
(5 Punkte) Zeigen Sie, dass für zusammengesetztes ungerades N die Anzahl der a ∈ (Z/N Z)∗ , für die N eine Pseudoprimzahl zur
Basis a ist, ≤ 12 ϕ(N ) ist.
Aufgabe 23.
(3 Punkte) Zeigen Sie, dass endliche Untergruppen der
multiplikativen Gruppe eines Körpers zyklisch sind. Insbesondere sind die
Einheitengruppen endlicher Körper zyklisch.
Aufgabe 24.
(3 Punkte) Berechnen Sie die folgenden Legendre Symbole:
246
,
257
240
,
499
1234
.
257
Aufgabe 25.
(5 Punkte) Zeigen Sie: Sei N ∈ N, N − 1 = RF , F =
√
Qn
βj
N mit paarweise verschiedenen Primzahlen qj und ggT(R, F ) =
j=1 qj >
1. Angenommen es gibt Zahlen aj ∈ Z mit
(N −1)/qj
ggT(aj
−1
− 1, N ) = 1, aber aN
≡1
j
(mod N ) (j = 1, . . . , n).
Dann ist N eine Primzahl.
Abgabe: Montag, den 13.06.2016, vor der Vorlesung 12:00 Uhr im Hörsaal
IV.

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