Blatt 6

Übungsblatt 6
Lineare Algebra I, SoSe 2016
Dr. Matthias Köhne, Dr. Benno Kuckuck
Ausgabe: Di., 17.05.2016, Abgabe: Di., 24.05.2016
Aufgabe 22: (Komplexe Zahlen)
[6 Punkte]
Seien w = 2 + 3i und z = 1 − 2i. Berechnen Sie w + z, w − z, wz und w/z und stellen Sie diese jeweils in der
Form x + iy mit x, y ∈ R dar. Bestimmen Sie weiterhin |z| und z̄.
Aufgabe 23: (Endliche Körper)
Stellen Sie die Verknüpfungen in (Z7 , +, ·) in Form von Tabellen dar:
+
[0]7
[1]7
[2]7
[3]7
[4]7
[5]7
[6]7
[0]7
[1]7
[2]7
[3]7
[4]7
[5]7
[6]7
[6]7
·
[0]7
[1]7
[2]7
[3]7
[4]7
[5]7
[6]7
[0]7
[10 Punkte]
[1]7
[2]7
[3]7
[4]7
[5]7
[6]7
[1]7
−1
−1
−1
−1
Bestimmen Sie weiterhin die multiplikativ Inversen [2]−1
7 , [3]7 , [4]7 , [5]7 , [6]7 .
Aufgabe 24: (Multiplikativ Inverse in Zn )
[8 Punkte]
Seien m = 1870 und n = 5187. Ist Zn ein Körper? Besitzt [m]n in Zn ein multiplikativ Inverses? Bestimmen Sie
ggf. das multiplikativ Inverse [m]−1
n .
Aufgabe 25: (Untergruppen von Z)
[8 Punkte]
Seien m, n ∈ Z \ { 0 }. Zeigen Sie, dass m · Z ∩ n · Z = kgV(m, n) · Z und m · Z + n · Z = ggT(m, n) · Z ist.
Hinweis: kgV bzw. ggT bezeichnen das kleinste gemeinsame Vielfache bzw. den größten gemeinsamen Teiler.
Sie können (ohne Beweis) ausnutzen, dass für k ∈ Z mit k | m und k | n auch k | kgV(m, n) gilt.
Aufgabe 26: (Untergruppen von Sn )
Bestimmen Sie alle Untergruppen von S3 .
Hinweis: Beachten Sie den Satz von Lagrange.
[8 Punkte]

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