3. Übung Zahlentheorie
Prof. Dr. Nebe
(SS 2016)
Aufgabe 7. (Faktorielle Ringe, 6 Punkte)
Sei R ein faktorieller Ring. Zeigen Sie:
(a) Die Primelemente von R sind genau die unzerlegbaren Elemente in R.
(b) Für a, b ∈ R existieren ggT(a, b) und kgV(a, b) und es gilt ggT(a, b)kgV(a, b) =
ab.
(c)∗ Z[x] ist ein faktorieller Ring.
(d) Sei R = Z[x]. Bestimmen Sie d := ggT(a, b) und n, m ∈ Z[x] mit d =
na + mb (falls diese existieren) für die folgenden Werte a, b:
(2, x), (x2 − 1, x3 − 1), (x2 − 1, 2x3 − 2x)
Aufgabe 8. (Lineare diophantische Gleichungen, 6 Punkte)
Entscheiden Sie, welche der folgenden linearen diophantischen Gleichungen in Z
lösbar ist und bestimmen Sie alle Lösungen.
(a) 6x + 15y = 4.
(b) 899x + 203y = 319.
(c) 899x + 203y = 341.
(d) 10x + 6y + 15z = 17.
Aufgabe 9. (Lineare diophantische Gleichungen, 4 Punkte)
Entscheiden Sie, welche der folgenden linearen diophantischen Gleichungen in
Q[x] lösbar ist und bestimmen Sie dann eine Lösung.
(a) p(x2 − 1) + q(x2 + 2x + 1) + r(x2 − 2x + 1) = x2 + 1.
(b) p(x3 − 1) + q(x4 − 1) = x2 − 1.
Abgabe: Montag, den 02.05.2016, vor der Vorlesung 12:00 Uhr im Hörsaal IV.

2. Übungsblatt

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