Blatt 06 - Universität des Saarlandes

Prof. Dr. Christian Bender
Dr. Robert Knobloch
Dr. Yana Kinderknecht
M.Sc. Christian Gärtner
Universität des Saarlandes
WiSe 2016/17
30. November 2016
Mathematik für Informatiker I
6. Übung
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Seien a, b ∈ Z nicht beide gleich Null. Sei d die kleinste natürliche Zahl, für die l, k ∈ Z
existieren so, dass d = l · a + k · b.
(a) Zeigen Sie mittels Division mit Rest, dass d sowohl a als auch b teilt.
(b) Folgern Sie, dass d = ggT(a, b).
(c) Beweisen Sie, dass [a] ein multiplikatives Inverses in Zm hat, falls ggT(a, m) = 1. Zu
zeigen ist also:
ggT(a, m) = 1 ⇒ ∃ [b] ∈ Zm : [a] · [b] = 1.
Aufgabe 2 (6 Punkte)
(a) Überprüfen Sie, ob für die Restklasse [112] in Z243 ein inverses Element bezüglich der
Multiplikation existiert.
(b) Lösen Sie die Gleichung x3 − 2 = 0 (d.h. [x]3 − [2] = [0]) in Z6 und in Z8 .
Aufgabe 3 Untersuchen Sie die folgenden Teilmengen von R auf Existenz von Minimum, Infimum,
Maximum und Supremum. Bestimmen Sie gegebenenfalls die jeweiligen Werte.
(a)
(b)
√
√ M1 := x ∈ R | 3 < x ≤ 5
n
o
M2 := x21+1 | x ∈ R
Aufgabe 4 Sei (G, ∗) eine Abelsche Gruppe. Zeigen Sie:
(a) Es gibt genau ein neutrales Element (d.h.: ∃! e ∈ G, so dass für alle a ∈ G gilt e ∗ a = a).
(b) Für jedes a ∈ G ist das inverse Element eindeutig bestimmt
(d.h.: für alle a ∈ G ∃! b ∈ G, so dass a ∗ b = e gilt).

Download Report