Sommersemester 2016 Tobias Roßmann Elementare Zahlentheorie Präsenzblatt 4 ? Besprechung am 4. Mai 2016. Aufgabe 1. Bestimmen Sie die kleinsten positiven Lösungen der folgenden Systeme von Kongruenzen: (i) x ≡ 1 (mod 4), x ≡ 0 (mod 3), x ≡ 5 (mod 7) (ii) x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 4 (mod 11), x ≡ 5 (mod 16) Aufgabe 2. Seien m, n ∈ N. Zeigen Sie: (i) ϕ(mn)ϕ(ggT(m, n)) = ϕ(m)ϕ(n) ggT(m, n). (ii) Aus m | n folgt ϕ(m) | ϕ(n). Aufgabe 3. (i) Bestimmen Sie jene n ∈ N mit ϕ(5n) = 5ϕ(n). (ii) Bestimmen Sie jene n ∈ N mit 4 - ϕ(n). (iii) Zeigen Sie, dass ϕ(n) 6= 14 für alle n ∈ N. Aufgabe 4. Seien m, n ∈ N teilerfremd. Zeigen Sie, dass mϕ(n) + nϕ(m) ≡ 1 (mod mn). Aufgabe 5. Sei p > 5 prim. Zeigen Sie, dass 6(p − 4)! ≡ 1 (mod p).
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