5. Übungsblatt

5. Übung Zahlentheorie
Prof. Dr. Nebe
Aufgabe 13.
(SS 2016)
(6 Punkte) (die prime Restklassengruppe)
(a) Bestimmen Sie einen expliziten Erzeuger (ein sogenanntes primitives Element) von (Z/p6 Z)∗
für die Primzahlen p = 3, 5, 7.
(b) Bestimmen Sie die Struktur und ein minimales Erzeugendensystem der Gruppen (Z/mZ)∗ für
m = 40, 50, 60.
(c) Bestimmen Sie Erzeuger der Gruppen (Z/16Z)∗ und (Z/32Z)∗ .
(d) Beweisen Sie, dass für n ≥ 2 gilt (Z/2n Z)∗ ∼
= C2 × C2n−2 .
Aufgabe 14.
(3 Punkte) (Lineare Kongruenzen) Zeigen Sie
(a) Für a, b, m, k ∈ R mit ggT(k, m) =: d ist die lineare Kongruenz
ka ≡ kb
(mod m) äquivalent zu a ≡ b (mod
m
).
d
(b) Ist d ein gemeinsamer Teiler von a, b und m, so gilt
a ≡ b (mod m) ⇔
a
b
≡
d
d
(mod
m
).
d
Aufgabe 15. (3 Punkte) (Lagrange Interpolation)
Bestimmen Sie alle Polynome p ∈ Q[x] vom Grad < 5 mit p(1) = 1, p(2) = 4, p(−1) = 1, p(−2) = 4,
p(0) = 0.
Aufgabe 16. (3 Punkte) (Gaußsche Primzahlen) Bestimmen Sie alle Darstellungen m = a2 + b2
als Summe von 2 Quadraten a, b ∈ Z (bis auf Vorzeichenwechsel und Vertauschung) von m =
14, 17, 25, 98, 125, 130, 2210(∗) .
Abgabe: Montag, den 23.05.2016, vor der Vorlesung 12:00 Uhr im Hörsaal IV.

Download Report