Einführung in die Algebra
SoSe 2016
Prof. Dr. Peter Schneider
Mark Feldmann
6. Übungsblatt
Abgabetermin: Do, 2.6.16, 14 Uhr
1. Es sei R ein kommutativer Ring, I eine Indexmenge und {ai }i∈I eine Familie
von Idealen in R. Wir definieren
Spec(R) := {p ⊆ R | p Primideal }
und für ein Ideal a ⊆ R die Teilmenge
V (a) := {p ∈ Spec(R) | a ⊆ p}.
(a) Man zeige, dass
X
\
V(
ai ) =
V (ai )
i∈I
i∈I
gilt.
(b) Man zeige, dass
V (a1 · a2 ) = V (a1 ) ∪ V (a2 )
gilt.
(4 Punkte)
2. Es sei Z[i] := {a + bi ∈ C | a, b ∈ Z} der Ring, der die Multiplikation und
Addition von C erbt. Man bestimme die Einheitengruppe (Z[i])× .
Hinweis: Man finde eine multiplikative Abbildung N : Z[i] → Z.
(4 Punkte)
3. Man bestimme alle x ∈ Z, sodass
x=1
x=2
x=3
mod 3
mod 5
mod 7
gelten.
Hinweis: Man verwende den chinesischen Restsatz.
(4 Punkte)
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