30. Mai 2016

Prof. Dr. S. Dietrich
Dr. M. Bier ([email protected])
M.Sc. H. Bartsch
M.Sc. N. Farahmand Bafi
Dr. M. Gross
M.Sc. M. Labbé-Laurent
M.Sc. A. Reindl
Dr. C. Rohwer
Theoretische Physik I: Klassische Mechanik
7. Übungsblatt (http://www.is.mpg.de/dietrich/lehre/TP1 16)
SoSe 2016
30. Mai 2016
23. Additionstheoreme für Geschwindigkeiten
Gegeben seien ein Inertialsystem K und ein relativ dazu mit der konstanten Geschwindigkeit u ∈ R3 bewegtes zweites Inertialsystem K ′ . Ein Teilchen bewege sich mit konstanter
drr
drr′
Geschwindigkeit, die in K als v =
∈ R3 und in K ′ als v ′ = ′ ∈ R3 wahrgenomdt
dt
men wird. Dabei sind die Geschwindigkeiten u , v und v ′ im Allgemeinen nicht parallel.
Bestimmen Sie für den Fall, dass K ′ aus K durch
(a) Galileitransformation bzw.
(b) Lorentztransformation
hervorgeht, eine Relation zwischen v und v ′ .
(Hinweis: Betrachten Sie t′ (t) als Funktion von t und leiten Sie r ′ (t′ (t)) nach t ab.)
u|
|u
Diskutieren Sie für die Lorentztransformation in Aufgabenteil (b) den Limes
≪ 1 und
c
vergleichen Sie ihn mit dem Ergebnis der Galileitransformation aus Aufgabenteil (a).
24. Lorentzkraft
Betrachten Sie ein punktförmiges Teilchen der Masse m und Ladung q in einem homogenen
magnetischen Feld B = Beez . Zur Zeit t = 0 befinde sich das Teilchen im Ursprung und
es besitze die Geschwindigkeit v (t = 0) = v 0 . Stellen Sie die Bewegungsgleichung des
Teilchens auf, lösen Sie diese und beschreiben Sie die Bahn.
25. Störungsrechnung
D
Betrachten Sie ein punktförmiges Teilchen der Masse m im Potential U(z) = mgz + ε z 2 ,
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wobei g, D > 0 und 0 ≤ ε ≪ 1 gelte. Zum Zeitpunkt t = 0 ruhe das Teilchen im Ursprung.
(a) Beschreiben Sie die physikalische Situation in Worten. Welche Teilchenbahnen erwarten Sie für ε = 0 und für ε > 0?
(b) Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf.
(c) Bestimmen Sie die Lösung z0 (t) der Bewegungsgleichung aus Aufgabenteil (b) für den
Fall ε = 0 und beschreiben Sie die Teilchenbewegung.
Fortsetzung auf Seite 2
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D
(d) Nun soll der Einfluss eines nicht verschwindenden Störterms ε z 2 6= 0 im Poten2
tial U auf die Teilchenbahn untersucht werden. Substituieren Sie hierzu den Ansatz
z(t) = z0 (t)+εz1 (t)+O(ε2 ) in die Bewegungsgleichung aus Aufgabenteil (b) und identifizieren Sie ordnungsweise die Koeffizienten der Terme ∼ εn auf beiden Seiten der
Bewegungsgleichung für n = 0 und für n = 1. Welche Gleichung ergibt sich für n = 0?
Lösen Sie die Gleichung für n = 1, indem Sie die Lösung z0 (t) der Gleichung für n = 0
verwenden. Formulieren Sie die Lösung in 1. Störungsordnung z̃(t) := z0 (t) + εz1 (t)
und beschreiben Sie den Einfluss der Störung in Worten. Für welche Zeiten t erwarten
Sie, dass z̃(t) eine gute Näherung der exakten Lösung sein wird?
(e) Lösen Sie nun die Bewegungsgleichung in Aufgabenteil (b) exakt, entwickeln Sie die
Lösung bis zur 1. Ordnung in ε und vergleichen Sie mit der Lösung in 1. Störungsordnung z̃(t) aus Aufgabenteil (d).
Bemerkungen:
• Der Fall, dass ein interessantes Problem exakt gelöst werden kann (siehe Aufgabenteil
(e)) tritt sehr selten auf. Kann man das Problem aber durch die Störung eines exakt
lösbaren Spezialfalls (siehe Aufgabenteil (c)) formulieren, ist Störungsrechung (siehe
Aufgabenteil (d)) eine Methode, um näherungsweise Lösungen zu gewinnen.
• Durch Vergleich der Koeffizienten höherer Ordnungen in ε lässt sich eine Störungsrechung prinzipiell bis zu beliebig hoher Ordnung durchführen. Dabei treten in jeder
Ordnung n neben der unbekannten Funktion zn (t) nur schon bekannte Beiträge zk (t)
mit k < n auf.
• Konvergenzfragen einer Störungsentwicklung sind von physikalischer Relvanz.
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