1 原点を O とする座標空間に，3 点 A(1 , 0, 0), B(0, 0, 2), C(

1 原点を O とする座標空間に，3 点 A(1, 0, 0), B(0, 0, 2), C(−2, 1, 3) がある。このとき，以下の問いに
答えよ。
(1) △ABC において，∠B は π より大きいことを示せ。
2
(2) 点 A から直線 BC に下ろした垂線と直線 BC との交点を H とする。点 H の座標を求めよ。
(3) △OAH の面積を求めよ。
(2012 年度九州大学)
2 関数 f (x) = x3 + 3x2 + x − 1 を考える。曲線 C : y = f (x) について，以下の問いに答えよ。
(1) t ≧ 0 のとき，曲線 C は傾きが t である接線を 2 本持つことを示せ。
(2) (1) において，傾きが t である 2 本の接線と曲線 C との接点を，それぞれ P(p, f (p)), Q(q, f (q)) とす
る（ただし p < q ）。このとき，点 P と点 Q は点 A(−1, 0) に関して対称の位置にあることを示せ。
(3) t ≧ 0 のとき，2 点 P, Q の間の距離の最小値を求めよ。また，最小値を与えるときの P, Q の x 座標 p,
q もそれぞれ求めよ。
(2012 年度九州大学)
3 100 人の団体がある区間を列車で移動する。このとき，乗車券が 7 枚入った 480 円のセット A と，乗車
券が 3 枚入った 220 円のセット B を購入して，利用することにした。以下の問いに答えよ。
(1) x が 0 以上の整数であるとき，次のことを示せ。
1 (100 − 7x) は，x を 3 で割ったときの余りが 1 の場合に整数であり，それ以外の場合は整数ではない。
3
(2) 購入した乗車券は，余らせずすべて利用するものとする。このとき，セット A とセット B の購入の仕
方をすべて挙げよ。
(3) 購入した乗車券は余ってもよいものとする。このとき，A のみ，あるいは B のみを購入する場合も含
めて，購入金額が最も低くなるのは，A, B をそれぞれ何セットずつ購入するときか。またそのときの
購入金額はいくらか。
(2012 年度九州大学)
4 いくつかの玉が入った箱 A と箱 B があるとき，次の試行 T を考える。
（試行 T）箱 A から 2 個の玉を取り出して箱 B に入れ，その後，箱 B から 2 個の玉を取り出して箱
A に入れる。
最初に箱 A に黒玉が 3 個，箱 B に白玉が 2 個入っているとき，以下の問いに答えよ。
(1) 試行 T を 1 回行ったときに，箱 A に黒玉が n 個入っている確率 pn (n = 1, 2, 3) を求めて既約分数で
表せ。
(2) 試行 T を 2 回行ったときに，箱 A に黒玉が n 個入っている確率 qn (n = 1, 2, 3) を求めて既約分数で
表せ。
(3) 試行 T を 3 回行ったときに，箱 A の中がすべて黒玉になっている確率を求めて既約分数で表せ。
(2012 年度九州大学)
耳原点を0とする座標空間に，3点A（1，0，0），B（0，0，2），C（一2，1，3）がある。このとき，以下の問いに
（1）△ABCにおいて，∠Bは号より大きいことを示せ0
（2）点Aから直線BCに下ろした垂線と直線BCとの交点をHとする。点Hの座標を求めよ。
（3）△OAHの面積を求めよ。
（2012年度九州大学）
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回関数拍）＝∬3＋3J2＋ズー1を考える。曲線C‥y＝拍）について，以下の問いに答えよ。
（1）f≧0のとき，曲線Cは傾きが壬である接線を2本持つことを示せ。
（2）（1）において，傾きが舌である2本の接線と曲線Cとの接点を，それぞれP（pJ（p）），Q（9，才（扇）とす
る（ただしpくれこのとき，点Pと点Qは点A（−1，0）に関して対称の位置にあることを示せ。
（3）亡≧0のとき，2点P，Qの間の距離の最小値を求めよ。また，最小値を与えるときのP，Qの∬座標p，
官もそれぞれ求めよ。
（2012年度九州大学）
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回100人の団体がある区間を列車で移動する。このとき，乗車券が7枚入った480円のセットAと，乗車
券が3枚入った220円のセットBを購入して，利用することにした。以下の問いに答えよ。
与（100−7卯ま・∬を3で割ったときの余。が1の場合に整数であり，それ以外の場合は整数ではない。
（2）購入した乗車券は，余らせずすべて利用するものとする。このとき，セットAとセットBの購入の仕
方をすべて挙げよ。
（3）購入した乗車券は余ってもよいものとする。このとき，Aのみ，あるいはBのみを購入する場合も含
めて，購入金額が最も低くなるのは，A，Bをそれぞれ何セットずつ購入するときか。またそのときの
購入金額はいくらか。
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（2012年度九州大学）
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包いくつかの玉が入った箱Aと箱Bがあるとき，次の試行Tを考える。
（試行T）箱Aから2個の玉を取り出して箱Bに入れ，その後，箱Bから2個の玉を取り出して箱
Aに入れる。
最初に箱Aに黒玉が3個，箱Bに白玉が2個入っているとき，以下の問いに答えよ。
（1）試行Tを1回行ったときに，箱Aに黒玉が乃個入っている確率pれ（几＝1，2，3）を求めて既約分数で
表せ。
（2）試行Tを2回行ったときに，箱Aに黒玉がれ個入っている確率qm（乃＝1，2，3）を求めて既約分数で
表せ。
（3）試行Tを3回行ったときに，箱Aの中がすべて黒玉になっている確率を求めて既約分数で表せ。
（2012年度九州大学）
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