Markus Bibinger, Tobias Zwingmann Mathematische Statistik Sommersemester 2016 Philipps-Universität Marburg Aufgabenblatt 6 17. Lassen sich bei den Experimenten (a) Poissonverteilung Pλ , λ > 0, Ä ä (b) Uniforme Verteilung U([0, ϑ]), ϑ > 0, (c) Betaverteilung auf [0,1], Beta(α, β), α, β > 0, (d) Multinomialverteilung mit n unabhängigen Wiederholungen und S möglichen Ausgängen mit Eintrittswahrscheinlichkeiten p1 , . . . , pS in jeder Wiederholung, mit den üblichen Messräumen die Dichten in der Form pϑ (dx) = C(ϑ) exp η(ϑ)> T (x) µ(dx) Ä ä mit einem dominierenden Maß µ darstellen? Falls möglich, geben Sie η und T an. 18. Es seien X1 , . . . , Xn i.i.d. Zufallsvariablen verteilt gemäß einer reskalierten Poisson-Verteilung auf N: Ä ä−1 ϑx e−ϑ fϑ (x) = 1 − e−ϑ für x ∈ N , x! wobei ϑ ∈ (0, ∞). Zeigen Sie, dass eine Exponentialfamilie vorliegt und geben Sie die natürliche suffiziente Statistik an. 19. Es seien X1 , . . . , Xn i.i.d. uniform verteilt auf dem Intervall (ϑ − 1/2, ϑ + 1/2) mit unbekanntem Parameter ϑ ∈ R. Es bezeichne X(1) < X(2) < . . . < X(n) die Ordnungsstatistik. Man betrachte das Schätzproblem ϑ zu schätzen bei quadratischem Verlust und mit einer a-priori-Verteilung ϑ ∼ U (−T, T ), uniform verteilt auf dem Intervall (−T, T ) mit T > 0 bekannt. Zeigen Sie, dass der Bayes-Schätzer ϑ̂T durch ϑ̂T = Ä ä Ä ää 1Ä max − T, X(n) − 1/2 + min T, X(1) + 1/2 2 gegeben ist. Folgern Sie für ϑ̂ := 1/2 (X(1) + X(n) ) aus E[Z(1) ] = (n + 1)−1 und E[Z(n) ] = n(n + 1)−1 für Z1 , . . . , Zn eine mathematische Stichprobe einer uniformen Verteilung auf (0, 1), dass das Risiko R(ϑ, ϑ̂) konstant in ϑ ist. Man setze voraus, dass das Bayes-Risko für π = U (−T, T ) die Konvergenz Rπ (ϑ̂T ) → R(ϑ, ϑ̂) erfüllt. Ist ϑ̂ dann minimax? Abgabe Donnerstag 26.05.2016 vor der Vorlesung. Besprechung in der Übung am 30.05.2016.