Übungsblatt 3

Brush-up-Kurs Mathematik
Dr. Jürgen Kampf
Oktober 2016
3. Übungsblatt
Besprechung: 7. Oktober
Aufgabe 1: Würfel und Grenzwerte
Angenommen, wir haben einen Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen von 1 bis 6 beschriftet seien, aber wir vertrauen
zunächst nicht darauf, dass der Würfel fair ist, d.h. dass er auf allen Seiten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit
zum liegen kommt. Um die erwartete Zahl E, die der Würfel zeigt, zu bestimmen, gehen wir wie folgt vor: Wir
werfen ihn n-mal und bilden das arithmetische Mittel
Ê =
1
n
n
X
Xi
i=1
der Resultate X1 , X2 , . . . , der Würfe.
a) Warum ist Ê ein Näherungswert für E?
Nimm nun an, dass der Würfel tatsächlich fair ist.
b) Berechne Var X̂1 . Kontrollwert: 35/12.
c) Wir werfen den Würfel 100 mal. Berechne mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes die Wahrscheinlichkeiten
P(3, 2 ≤ Ê ≤ 3, 5)
und P(3, 2 ≤ Ê ≤ 3, 8)
approximativ.
d) Wie oft müssen wir den Würfel werfen, damit
P(3, 2 ≤ Ê ≤ 3, 8) ≈ 0, 95.
e) Wir werfen den Würfel wieder 100 mal. Berechne mit Hilfe der Tschebyscheff’schen Ungleichung eine Schranke
für die Wahrscheinlichkeit
P(3, 2 ≤ Ê ≤ 3, 8).
f) Wie oft müssen wir den Würfel mindestens werfen, um sicher zu sein, dass
P(3, 2 ≤ Ê ≤ 3, 8) ≥ 0, 95.
Verwende die Tschebyscheff’sche Ungleichung.
Aufgabe 2: Schätzer für die Gleichverteilung
Sei X1 , . . . , Xn eine Zufallsstichprobe zur Gleichverteilung U (θ − 21 , θ + 12 ) auf dem Intervall (θ − 12 , θ + 12 ). Der
Parameter θ ∈ R ist zu schätzen. Hierfür werden folgende Schätzer vorgeschlagen:
T1 (X1 , . . . , Xn ) = Xn ,
T2 (X1 , . . . , Xn ) = X1 + 2X2 + · · · + nXn =
T3 (X1 , . . . , Xn ) = X̄ =
1
n (X1
Xn
j=1
jXj ,
+ · · · + Xn ),
T4 (X1 , . . . , Xn ) = min{X1 , . . . , Xn } +
1
2
a) Diskutiere, wie sinnvoll diese Schätzer sind.
b) Entscheide für jeden der vier Schätzer, ob er erwartungstreu ist und ob asymptotisch erwartungstreu ist.
1
Hinweis: Es ist E min{X1 , . . . , Xn } = θ − 12 + n+1
.
c) Sind T1 und T3 konsistent?
1

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