Blatt 15 - Fakultät Statistik

TU DORTMUND
Sommersemester 2016
Fakultät Statistik
19. Juli 2016
Prof. Dr. J. Kunert
M.Sc. S. Nennstiel
Übungen zur Vorlesung Lineare Modelle
Blatt 15
Aufgabe 34 (2 Punkte)
Sei y = Aβ + e ein lineares Modell mit Design-Matrix A ∈ IRn×m . Zeigen Sie, dass gilt: Falls A0 A ∈ IRm×m
invertierbar ist, so ist jedes k 0 β mit einem beliebigen k ∈ IRm schätzbar.
Aufgabe 35 (2 Punkte)

1


1


1
Gegeben sei das lineare Modell y = Aβ + e, wobei A = 

1


1

1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0


 

µ
0
 

 

α 
0
 und β =  1  .
 

α2 
0

 

α3
1

1
Überprüfen Sie, welche der folgenden Linearkombinationen schätzbar sind:
(i) µ + α1 ,
(ii) α2 ,
(iii) α2 − α3 ,
(iv) α1 − 12 α2 − 12 α3 ,
(v) µ − 12 α2 − 12 α3 .
Aufgabe 36 (2 Punkte)
Auf dem Server finden Sie in der Datei ”Daten-A36.txt” die Werte von drei standardisierten Einflussgrößen
x1 , x2 und x3 . Des Weiteren befinden sich in der Datei fünf zugehörige Beobachtungsvektoren ya bis ye .
Führen Sie für jeden Beobachtungsvektor eine multiple lineare Regression (ohne Wechselwirkungen und ohne
quadratische Terme) durch. Zeichnen Sie dann Residualplots und überprüfen Sie, ob eine Verletzung der
Modellannahmen der multiplen linearen Regression vorliegt. Wenn ja, können Sie anhand der Residualplots
erkennen, wodurch die Verletzung hervorgerufen wurde?
Aufgabe 37 (4 Punkte)
Seien A ∈ IRn×a und B ∈ IRn×b so, dass 1n ∈ im(A) und 1n ∈ im(B). Wir betrachten das lineare Modell mit
Designmatrix [A, B], d.h. das lineare Modell y = Aα + Bβ + e.
Es gelte zusätzlich: ∃z ∈ IRk mit ω(A)B = 1n z T .
Man zeige:
a) Die parametrische Funktion k T α ist schätzbar im Modell y = Aα+Bβ +e, wenn ∃u ∈ IRn mit uT A = k T
und uT 1n = 0.
T α zu
b) Ist k T α im Modell y = Aα + Bβ + e schätzbar, so berechnet sich der Gauss-Markoff-Schätzer kd
T α = k T (AT A)− AT y.
kd
Hinweise:
zu a):
Es ist zu zeigen, dass
∃v ∈ IRn mit v T A = k T und v T B = 0
⇔ ∃u ∈ IRn mit uT A = k T und uT 1n = 0
Für die eine Richtung nutzen Sie aus, dass 1n ∈ im(B).
Für die andere Richtung definieren Sie v := ω(A)u.
zu b)
T α = v T ω([A, B])y, wobei v wie in a) ist.
Nutzen Sie aus, dass kd
Abgabe bis Dienstag, den 26.07.2016, 10.00 Uhr

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