7. Modulbegleitende Aufgabe

PD Dr. S. Franz
Dr. M. Herrich
Institut für Numerische Mathematik
SS 2016
7. Modulbegleitende Aufgabe zur Vorlesung Einführung in die Numerik
(3 Punkte) In dieser Aufgabe geht es um ein Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung eines
lokalen Minimums einer Funktion.
Gegeben sei eine stetige Funktion f : R → R. Es sei bekannt, dass sich ein lokales Minimum x∗
dieser Funktion im offenen Intervall (a, b) befindet, wobei a < b. Des Weiteren sei bekannt, dass
die Funktion f auf dem Intervall [a, x∗ ) streng monoton fallend und auf dem Intervall (x∗ , b] streng
monoton wachsend ist.
Durch den folgenden Algorithmus wird Verfahren zur Bestimmung eines Näherungswertes für das
lokale Minimum x∗ von f beschrieben. Der Algorithmus erzeugt eine Folge von Intervallen, die alle
x∗ enthalten und deren Intervalllänge gegen Null geht.
S0: Wähle ε > 0. Setze [a0 , b0 ] := [a, b] und k := 0.
S1: Falls bk − ak < ε, dann STOPP.
S2: Berechne rk := 23 ak + 13 bk und sk := 31 ak + 23 bk .
S3: Falls f (rk ) < f (sk ), setze [ak+1 , bk+1 ] := [ak , sk ].
Falls f (rk ) ≥ f (sk ), setze [ak+1 , bk+1 ] := [rk , bk ].
S4: Setze k := k + 1 und gehe zu S1.
(i) Zeigen Sie, dass tatsächlich gilt:
lim (bk − ak ) = 0 und ak ≤ x∗ ≤ bk ∀k ∈ N0 .
k→∞
(ii) Gegeben sei die Funktion f (x) := ex − 2x. Weisen Sie nach, dass diese Funktion im Intervall
(0, 1) genau ein lokales Minimum x∗ besitzt und dass sie außerdem auf dem Intervall [0, x∗ )
streng monoton fallend und auf dem Intervall (x∗ , 1] streng monoton wachsend ist.
Hinweis: Hier hilft die Untersuchung der ersten Ableitung von f weiter.
(iii) Führen Sie für die Funktion f (x) = ex − 2x zwei Schritte des oben beschriebenen Algorithmus
zum Startintervall [a0 , b0 ] = [0, 1] aus, das heißt ermitteln Sie die Intervalle [a1 , b1 ] und [a2 , b2 ].
Geben Sie bitte die Lösung zu dieser Aufgabe in der Vorlesung am Dienstag, den 7. Juni 2016
ab. Die modulbegleitende Aufgabe kann einzeln oder als Gruppe von zwei Personen bearbeitet und
abgegeben werden. Bitte notieren Sie Namen und Matrikelnummer(n) auf den abgegebenen Blättern.

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