Einführung in die Funktionentheorie
Manfred Dobrowolski∗
Inhaltsverzeichnis
1 Kurven
1
R
2
1.1
Kurven im
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Kurvenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Geometrie der Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4
Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.5
Wegintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2 Komplexe Zahlen
13
2.1
Der Körper der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2
Komplexe Konjugation und Absolutbetrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3
Polardarstellung komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4
Konvergenz komplexer Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5
Die stereographische Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Komplexe Funktionen
20
3.1
Grenzwerte und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2
Komplexe Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3
Polynome und Euklidischer Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4
Rationale Funktionen
3.5
Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.6
Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.7
Der Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.8
Mandelbrot- und Julia-Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Komplexe Integration
C
36
4.1
Kurven in
4.2
Das komplexe Kurvenintegral und der Cauchysche Integralsatz . . . . . . . . . . . . 36
4.3
Die Cauchysche Integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4
Harmonische Funktionen und Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 Reihenentwicklungen und der Residuensatz
∗
43
5.1
Potenzreihen und Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2
Der Identitätssatz für holomorphe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Institut für Mathematik, Universität Würzburg, Emil-Fischer-Straße 40, 97047 Würzburg
1
5.3
Das Maximumprinzip für holomorphe Funktionen und das Lemma von Schwarz . . . 44
5.4
Laurentreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.5
Typen isolierter Singularitäten und meromorphe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 48
5.6
Der Residuenkalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6 Anwendungen des Residuensatzes
53
6.1
Das Argumentprinzip und der Satz von Rouché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2
Anwendung des Residuenkalküls auf die reelle Integration . . . . . . . . . . . . . . . 54
7 Folgen holomorpher Funktionen
59
7.1
Kompakt konvergente Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.2
Unendliche Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.3
Partialbruchzerlegung des Cotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.4
Produktdarstellung des Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.5
Der Satz von Mittag-Leffler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.6
Der Weierstraßsche Produktsatz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8 Geometrische Eigenschaften holomorpher Funktionen
68
8.1
Der Nullstellensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.2
Konforme Abbildungen
8.3
Die gebrochen lineare Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.4
Das Lemma von Schwarz-Pick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.5
Der Riemannsche Abbildungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.6
Potentialströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
0

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