Aufgabe F14T2A1
(8 Punkte)
Es seien die Polynome p = x500 − 2x301 + 1 und q = x2 − 1 in Q[x] gegeben. Berechnen Sie den Rest der
Division von p durch q.
Lösung:
Sei R = Q[x]/(q). Zwei Elemente f1 + (q) und f2 + (q) dieses Rings sind genau dann gleich, wenn die
Differenz f1 − f2 der beiden Polynome f1 , f2 ∈ Q[x] durch q teilbar ist. Aus diesem Grund gilt auch
(x + (q))2 = x2 + (q) = 1 + (q). Sei nun r ∈ Q[x] der Rest, der bei Division von p durch q entsteht. Dann
ist auch p − r durch q teilbar. Es gilt
r + (q)
=
p + (q)
=
(x500 + (q)) − (2 + (q))(x301 + (q)) + (1 + (q))
(x + (q))500 − (2 + (q))(x + (q))301 + (1 + (q))
=
((x + (q))2 )250 − (2 + (q))((x + (q))2 )150 (x + (q)) + (1 + (q))
(1 + (q))250 − (2 + (q))(1 + (q))150 (x + (q)) + (1 + (q))
(1 + (q)) − (2 + (q))(1 + (q))(x + (q)) + (1 + (q))
(1 − 2x + 1) + (q)
=
=
=
=
=
(−2x + 2) + (q).
Somit ist die Differenz r − (−2x + 2) durch q teilbar. Weil r und −2x + 2 beide vom Grad < 2 sind, folgt
r − (−2x + 2) = 0 und r = −2x + 2.

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