Basistext: Umkehrfunktion

Basistext: Umkehrfunktion
Eine Funktion beschreibt einen Zusammenhang zwischen zwei Größen x und y.
Um z.B. aus einer Temperaturangabe in Grad Celsius die entsprechende Angabe in
Grad Fahrenheit zu berechnen, kann man die Funktionsgleichung
f ( x ) = 1,8 x + 32 verwenden.
Will man auch für die Umrechnung „in die andere Richtung“ (also vom bisherigen y
zum bisherigen x) eine Funktion verwenden, so benötigt man die Umkehrfunktion
von f.
Bezeichnung: f , sprich: „f quer“, (häufig auch: f
–1
, sprich: „f hoch minus Eins“).
Führt man also f und f hintereinander aus, so „landet man“ wieder bei derselben
Zahl x, die man zuerst eingesetzt hat. (Wer sich gerne in mathematischer
Formelsprache ausdrückt, schreibt das so: f ( f ( x ) ) = x für alle x ∈ D ( f ) )
Aus der Vertauschung von x und y ergibt sich auch eine Vertauschung von
Definitions- und Wertebereich,
d.h.: D ( f ) = W ( f ) und
Beispiel 1: f ( x ) = -2 x + 3, D ( f ) = [ -4 ; 8 ], dann ist
x = -2  f ( x ) + 3  – 3
 x – 3 = -2  f ( x )  : (-2)
-
3
1
x+
= f ( x ).
2
2
Um die Wertemenge W ( f ) zu bestimmen ermittelt man den tiefsten und den
höchsten Punkt auf dem Graph, indem man erst –4 und dann 8 einsetzt:
f ( -4 ) = 11, f ( 8 ) = -13, also ist W ( f ) = [ -13 ; 11 ].
Demnach gilt: D ( f ) = W ( f ) = [ -13 ; 11 ]
W ( f ) = D ( f ) = [ -4 ; 8 ]
Einige Umkehrfunktionen:
f(x)
D(f)
f (x)
D (f ) = W ( f )
x
IR
x
IR
m · x , wobei m ≠ 0
IR
1
x
m
IR
m·x+b,
wobei m ≠ 0
IR
1
(x–b)
m
IR
x2
IR≥0
1
x
IR\{ 0 }
x
1
x
F.M. www.mathebaustelle.de basistext_umkehrfunktion.doc 02.04.131-3
IR≥0
IR\{ 0 }
ex
IR
ln ( x )
IR>0
Graphisch: Der Graph der Umkehrfunktion ist gegenüber dem der ursprünglichen
Funktion an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelt, denn: Der Vertauschung von
x und y in der Rechnung (s.o.) entspricht graphisch die Vertauschung von x- und yAchse.
F.M. www.mathebaustelle.de basistext_umkehrfunktion.doc 02.04.132-3
Aufgaben
1 Bestimmen Sie die Umkehrfunktionen zu folgenden Funktionen
f 1: y = 0,5 x + 4;
x  IR
2
f 2( x ) =
( x – 6 ); D ( f 2 ) = IR
3
f 3( x ) = 
f 4( x ) =
1
10
x – 5;
x;
D = [ 0; 6 ]
x0
2 Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Geraden, die durch P 1 und P 2 verläuft
sowie die Gleichung ihrer Umkehrfunktion. P 1 ( -2  4), P 2 ( 6  -4 )
F.M. www.mathebaustelle.de basistext_umkehrfunktion.doc 02.04.133-3

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