4.4. Prüfungsaufgaben zu Umkehrfunktionen - Poenitz

4.4. Prüfungsaufgaben zu Umkehrfunktionen
Aufgabe 1a (8)
1
(x + 2)3 − 1
2
a) Bestimme die Gleichung der Umkehrfunktion f −1(x). (2)
b) Skizziere die Schaubilder von f und f −1 in ein gemeinsames Koordinatensystem mit −4 ≤ x, y ≤ 4 und 1 LE = 2 cm. (4)
Gegeben ist die Funktion f(x) =
y
5
Lösung
f−1(x) = 3 2(x 1) − 2
4
3
2
1
x
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
f
-2
Aufgabe 1b (6)
-3
1
f-1
Gegeben ist die Funktion f(x) = (x − 2)3 + 1
-4
2
−1
-5
a) Bestimme die Gleichung der Umkehrfunktion f (x). (2)
b) Skizziere die Schaubilder von f und f −1 in ein gemeinsames Koordinatensystem mit −4 ≤ x, y ≤ 4 und 1 LE = 2 cm. (4)
y
5
Lösung
f−1(x) = 3 2(x 1) + 2
4
f-1
3
2
f
1
x
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
Aufgabe 2a (8)
1
-5
(x + 2)−1 − 1
2
a) Bestimme die Gleichung der Umkehrfunktion f −1(x). (2)
b) Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich der Umkehrfunktion. (2)
c) Skizziere die Schaubilder von f und f −1 in ein gemeinsames Koordinatensystem mit −4 ≤ x, y ≤ 4 und 1 LE = 2 cm. (4)
Gegeben ist die Funktion f(x) =
y
Lösung
1
f(x) = (x + 1)−1 − 2 mit D = ℝ\{−1} und W = ℝ\{−2}
2
4
3
f-1
f
2
1
x
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
1
Aufgabe 2b (8)
1
(x − 2)−1 + 1
2
a) Bestimme die Gleichung der Umkehrfunktion f −1(x). (2)
b) Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich der Umkehrfunktion. (2)
c) Skizziere die Schaubilder von f und f −1 mit allen Asymptoten in ein gemeinsames Koordinatensystem mit −4 ≤ x, y ≤ 4
y
und 1 LE = 2 cm. (4)
4
Gegeben ist die Funktion f(x) =
Lösung
1
f(x) = (x − 1)−1 + 2 mit D = ℝ\{1} und W = ℝ\{2}
2
3
2
f-1
1
f
x
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
y
6
Aufgabe 3a (8)
Bestimme die Gleichung der Umkehrfunktion f–1 zu f(x)
1
= (x + 2)2 – 1. Untersuche f und f–1 auf Definitions3
sowie Wertebereich und zeichne beide Funktionen in
ein gemeinsames Koordinatensystem.
Lösungen:
Gleichung
D=
W=
4
3
2
1
(x + 2)2 – 1
3
ℝ
[–1; ∞[
f–1(x) =
f −1 (x)
1
-6
f(x) =
f(x)
5
-5
-4
-3
-2
x
0
-1 0
-1
1
2
3
4
5
6
-2
3(x  1) – 2
-3
[–1; ∞[
[–2; ∞[
-4
-5
-6
y
Aufgabe 3b (8)
Bestimme die Gleichung der Umkehrfunktion f–1 zu f(x)
1
=
(x − 2)2 + 1. Untersuche f und f–1 auf Definitions2
sowie Wertebereich und zeichne beide Funktionen in
ein gemeinsames Koordinatensystem.
6
5
3
D=
W=
f(x)
2
Lösungen:
Gleichung
f −1 (x)
4
1
1
f(x) = (x − 2)2 + 1
2
ℝ
[1; ∞[
–1
f (x) =
2(x  1) + 2
[1; ∞[
[2; ∞[
-6
-5
-4
-3
-2
0
-1 0
-1
x
1
2
3
4
5
6
-2
-3
-4
-5
-6
2
Question 4a (14)
 Find the formula for the inverse function f−1. (each 1)
 Draw the graphs of f and f−1 into a common system. (each 4)
 Determine the domain and the range of f−1. (each 2)
1
a) f(x) = (x – 1)2 + 3
b) f(x) = 2x−3 + 1
2
Question 4a (14)
a) f−1(x) = 2(x  3)  1 with D = [3; ∞[ and W = [1; ∞[
(3)
b) f (x) = log2(x – 1) + 3 with D = ]1; ∞[ and W = ℝ
(3)
−1
Graphs: (each 4)
y
9
9
8
8
f
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
f
f -1
2
f -1
1
-2
y
1
0
-1 0
-1
0
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2
-1
-2
-1
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2
Question 4b (14)
 Find the formula for the inverse function f−1. (each 1)
 Draw the graphs of f and f−1 into a common system. (each 4)
 Determine the domain and the range of f−1. (each 2)
1
a) f(x) = (x – 3)2 + 1
b) f(x) = 2x−1 + 3
2
Question 4b (14)
a) f−1(x) = 2(x  1)  3 with D = [1; ∞[ and W = [3; ∞[
(3)
b) f−1(x) = log2(x – 3) + 1 with D = ]3; ∞[ and W = ℝ
(3)
Graphs: (each 4)
9
y
9
8
8
f
f -1
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
-1 0
-1
-2
f
7
7
-2
y
0
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f -1
-2
-1
-1
-2
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3
Aufgabe 5 (8)
Bestimme die Gleichung der Umkehrfunktion f–1 zu f(x) =
x 2  2x  3
.
x 2  2x  1
Untersuche f und f–1 auf Definitions- sowie Wertebereich und zeichne beide
Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem.
Lösungen:
1
Gleichung
f(x) = –
D=
W=
]–1; ∞[
]–1; –∞[
(x  1)
2
+1
f–1(x) =
1
–1
1
1  x 
4
]–1; –∞[
]–1; ∞[
4

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