Funktionentheorie, Lebesguetheorie und Gewöhnliche

Freitag, 15. April 2015
Funktionentheorie, Lebesguetheorie und Gewöhnliche
Differerentialgleichungen
(Mathe IV für LA Gym)
— Blatt 2 —
(Tutoriumsblatt)
Aufgabe 1
Sei P = {λv + µw | 0 ≤ λ ≤ 1 , 0 ≤ µ ≤ 1} ⊆ R2 das von den Vektoren v = (1, 0) und w = (1, 1)
aufgespannte Parallelogramm.
(a) Stellen Sie P als Normalbereich bezüglich der x-Achse dar, d.h. geben Sie ein kompaktes Intervall
I ⊆ R und stetige Funktionen ψ1 , ψ2 : I → R an, die P als Normalbereich beschreiben. (Aus
Zeitgründen braucht weder die Übereinstimmung des Normalbereichs mit P noch die Stetigkeit
von ψ1 , ψ2 gezeigt werden. Fertigen Sie zunächst eine Skizze von P an.)
Z
(b) Berechnen Sie das Integral
xy d(x, y).
P
Aufgabe 2
Sei S ⊆ R3 der dreidim. Simplex gegeben durch S = {(x, y, z) ∈ R3 | x, y, z ≥ 0 , x + y + z ≤ 1}.
(a) Geben Sie eine Jordan-messbare Teilmenge A ⊆ R2 und eine Riemann-integrierbare Funktion
f : A → R+ an, so dass S genau die Ordinatenmenge von f ist. Zeigen Sie, dass die Gleichung
S = Λ(f ) tatsächlich erfüllt ist.
(b) Bestimmen Sie die Menge A(x) ⊆ R für alle x ∈ R.
(c) Berechnen Sie das Volumen v3 (S).
Aufgabe 3
Sei A = ([0, 2] × [0, 3]) \ ([1, 2] × [1, 2]).
(a) Zeigen Sie, dass A kein Normalbereich bezüglich der x-Achse ist.
(Fertigen Sie zunächst eine Skizze von A an.)
Z
(b) Verwenden Sie Satz (1.13)(ii), um
(x2 + 3xy) d(x, y) zu berechnen.
A
Dieses Blatt wird vom 25. bis zum 28. April in den Tutorien bearbeitet.
Funktionentheorie, Lebesguetheorie und Gewöhnliche
Differerentialgleichungen
(Mathe IV für LA Gym)
— Blatt 2 —
(Globalübungsblatt)
Aufgabe 1 (4+6 Punkte)
Sei E ⊆ R2 die Ellipse gegeben durch E = {(x, y) ∈ R2 | x2 + 2y 2 ≤ 5}.
(a) Zeigen Sie, dass E ein Normalbereich bezüglich der x-Achse ist.
Z
(b) Berechnen Sie das Integral
y d(x, y).
E
Aufgabe 2 (6+4 Punkte)
Wir betrachten die Pyramide P ⊆ R3 gegeben durch
P
=
{(x, y, z) ∈ R3 | |x|, |y| ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 − |x| − |y|}.
(a) Geben Sie eine Jordan-messbare Teilmenge A ⊆ R2 und eine Riemann-integrierbare Funktion
f : A → R+ an, so dass P genau die Ordinatenmenge von f ist.
(b) Berechnen Sie das Volumen v3 (P ).
Aufgabe 3 (6+4 Punkte)
Sei R = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4}.
(a) Zeigen Sie, dass R kein Normalbereich bezüglich der x-Achse ist, aber als Vereinigung zweier solcher
Normalbereiche dargestellt werden kann.
Z
(b) Berechnen Sie das Integral
x d(x, y).
R
Abgabe: Dienstag, 3. Mai, 14:15 Uhr (vor der Globalübung)
(Pro Abgabe sind maximal zwei Personen zugelassen.)

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