Fraktale Die Koch

Fraktale
Die Koch- Kurve
Anja Paster
23. April 2015
1
Einleitung
Es gibt keine umfassende Definition für Fraktale, jedoch typische Eigenschaften, die sie erfüllen. Ein hinreichendes Erkennungsmerkmal von Fraktalen ist,
dass sie eine nicht ganzzahlige Dimension besitzen, wodurch sie oft Selbstähnlichkeit zeigen. Geprägt wird der Begriff Fraktale von dem Mathematiker B.
Mandelbrot, wobei das Wort von dem lateinischen fragere“ (dt: brechen)
”
abgeleitet wurde.
Anwendung finden Fraktale in der Natur und Technik vor allem dort, wo es
um Austauschprozesse geht. Sie werden verwendet um den Wärmeaustausch
bei Benzinmotoren, aber auch bei Heizungskörper zu optimieren, indem die
Oberfläche maximiert wird. In der Natur kommen Fraktale zum Beispiel bei
der Lunge vor. Diese verzweigt sich von der Luftröhre über die zwei Hauptbronchien in immer feiner werdende Lungenbläschen um eine möglichst große
Oberfläche für den Gasaustausch zu erreichen.
Definition 1.1. Die Hausdorff- Dimension D ist definiert durch
D=
log a
log 1s
(1)
Wobei a der Anzahl an Teilstücken und s dem Streckungsfaktor entspricht.
Definition 1.2. Eine Figur heißt selbstähnlich, wenn Teile von ihr verkleinerte Kopien des Ganzen sind.
1
2
Die Koch- Kurve
Definition 2.1. Die Koch- Kurve, auch Koch’sche Schneeflockenkurve genannt, wurde vom schwedischen Mathematiker N.F.H. von Koch (1870 –
1924) entwickelt. Sie wurde als Beispiel für eine unendlich lange, stetige,
aber an keiner Stelle differenzierbare Kurve entwickelt und wurde deshalb
lange als eine Monsterkurve“ in der Mathematik gesehen.
”
Definiert wird die Koch-Kurve durch die Konstruktion:
Schritt 1: Zeichnen einer Geraden mit Länge 1.
Schritt 2: Das mittlere Drittel der Strecke wird durch einen gleichseitiges
Dreieck mit der Seitenlänge 13 der ursprünglichen Seite ersetzt.
Wiederhole Schritt 2 auf alle Strecken.
Abbildung 1: Die Koch- Kurve
Beginnt man die Konstruktion mit einem gleichseitigen Dreieck mit der
Seitenlänge 1, so kann man diesen Prozess auf jeder Seite durchführen und
man erhält die Koch’sche Schneeflocke.
Abbildung 2: Koch’sche Schneeflocke
Satz 2.2. Der Umfang der Koch- Kurve ist gleich unendlich.
2
Beweis: Um die gesamte Länge bzw. den Flächeninhalt zu bestimmen betrachten wird die Kurve im n-ten Iterationsschritt mit n = 0, 1, 2, . . .
Schritt 0: Da eine Kantenlänge 1 ist, beträgt die Länge in diesem Schritt
insgesamt 3.
Schritt 1: Bei jeder Kante wird 31 der Länge entfernt und zwei Abschnitte,
die auch die Länge 13 haben, hinzugefügt. Insgesamt beträgt die Kantenlänge
hier 4, sie hat sich also um 34 vergrößert.
Schritt n: Pro Schritt wird also die Kantenlänge um 34 vergrößert, dadurch
erhält man die Länge
n
4
ln = 3
.
(2)
3
Um die gesamte Kantenlänge zu berechnen wird der Grenzwert verwendet
n
4
lim 3
= ∞.
(3)
n→∞
3
Satz 2.3. Der Flächeninhalt A der Koch- Kurve beträgt
A=
2√
3.
5
(4)
Beweis: Für den Flächeninhalt wird die Höhe h des gleichseitigen Dreiecks
benötigt
s
√
2
3
1
2
=
.
(5)
h= 1 −
2
2
So ergibt sich der Flächeninhalt von A0 mit
√
3
1
.
A0 = 1 h =
2
4
(6)
Beim nächsten Schritt müssen zu A0 noch 3 gleichseitige Dreiecke mit der
Seitenlänge 13 hinzugefügt werden. Der Flächeninhalt A1 dieser Dreiecke beträgt 91 des ursprünglichen. Für den Schritt n = 2 beträgt die Kantenlänge
des Dreiecks 91 des ursprünglichen und somit ist die Fläche von den 12 hin1
zugefügten Dreiecken je 81
der Ausgangsfläche.
Wird dieser Prozess fortgesetzt so erhalten wir insgesamt 3 ∗ 4n Kanten beim
n -ten Schritt, da mit 3 Kanten begonnen wird und jede Kante durch 4 kürzere ersetzt wird.
3
Die eingeschlossene Fläche ist beim n -ten Schritt also um 3 ∗ 4n−1
größer als die Fläche im (n − 1) - ten Schritt.
Insgesamt ergibt dies
An = A0 +
n
X
k−1
3∗4
k=1
1 n
9
k
1
A0
9
k !
4
.
9
!
n k
1 3X 4
+
.
4 4 k=0 9
A0
(7)
n
= A0
= A0
3X
1+
4 k=1
(8)
(9)
Da es sich bei der Summe um eine Partialsumme der geometrischen Reihe
handelt, lautet die Summe
n+1 !
n k
4 n+1
X
1
−
5
4
4
9
=
1−
=
(10)
4
9
9
9
1− 9
k=0
Berechnet man den Grenzwert des Flächeninhalts für n → ∞ so erhält man:
2√
1 27
8
+
3.
(11)
A = A0
= A0 =
4 20
5
5
Literatur
[1] H. Walser, Fraktale, Berichte über Mathematik und Unterricht, No. 8901, ETM Zürich, 1989.
[2] www.mathematik.uni-mainz.de/Members/Froehli/Skripe/ss2011/modkapietel01.pdf.
[3] www.math.tugra.at/ spruessel/Lehre/WS1213/Tutorium/loe54.pdf.
[4] www.math.uni-bremen.de/didaktik/ma/ralbers/Veranstaltungen/MaDenken1313/Material/D
4

Download Report