Kapitel 5

5 Elementare Funktionen
5.1 Exponential- und Logarithmusfunktion
Für eine natürliche Zahl k ∈ N und eine reelle Zahl a ∈ R ist die Potenz
ak =
k
Y
a = a · a · a···a
k=1
definiert und es ist
a1 = a
und
∀k, n ∈ N :
ak+n = ak · an .
Das Ziel ist es, die Potenzbildung fortzusetzen und für x ∈ R den Wert ax zu definieren. Wir leiten dazu zunächst die Exponentialfunktion exp : R → R, exp(x) = ex her.
Angenommen, f : R → R ist eine differenzierbare Funktion mit
f (1) = a1 = a
und
f (x + y) = f (x) · f (y).
Dann gilt für die Ableitung von f :
f (x) · f (h) − f (x)
f (h) − 1
f (x + h) − f (x)
= lim
= f (x) · lim
.
h→0
h→0
h→0
h
h
h
f 0 (x) = lim
Angenommen, es gilt außerdem f 0 (x) = f (x). Dann muss limh→0 f (h)−1
= 1 gelten.
h
Bedenkt man ferner, dass die Bedingung f (x + y) = f (x)f (y) impliziert, dass f ( n1 ) =
p
n
f (1), so bekommt man insbesondere für die Nullfolge n1 n∈N , dass
p
f n1 − 1
lim
= lim n( n f (1) − 1) = 1.
1
n→∞
n
n→∞
Auflösen nach f (1) liefert, wenn man sich an Satz 1.24 erinnert, dass
n
1
f (1) = lim 1 +
= e.
n→∞
n
Definition 5.1. Für x ∈ R ist ex = exp(x) = limn→∞ 1 +
x n
n
die Exponentialfuntion.
41
5 Elementare Funktionen
Satz 5.2. Für x, y ∈ R gelten die folgenden Rechenregeln:
(i) ex · ey = ex+y ,
(ii) e−x =
1
,
ex
(iii) ex > 0,
(iv) ist x < y, so ist auch ex < ey , d.h., exp ist streng monoton wachsend.
Beweis.
Satz 5.3. Ist M ⊂ R ein Intervall und f : M → R streng monoton (vgl. Def. 4.11), so
besitzt f eine Umkehrfunktion, d.h., es gibt eine Funktion f −1 : f (M ) → R so dass
∀y ∈ f (M ) :
(f ◦ f −1 )(y) = y,
und
∀x ∈ M :
(f −1 ◦ f )(x) = x.
Definition 5.4. Nach Satz 5.2 (iv) ist die Exponentialfunktion streng monoton steigend
und nach Satz 5.3 besitzt sie eine Umkehrfunktion. Diese heißt natürlicher Logarithmus
und wird mit
exp−1 (x) = ln(x)
bezeichnet. Der natürliche Logarithmus bildet das Intervall (0, ∞) auf R ab.
Satz 5.5. Für x, y ∈ (0, ∞) gelten die folgenden Rechenregeln:
(i) ln(x · y) = ln(x) + ln(y),
(ii) ln( x1 ) = − ln(x),
(iii) ist x < y, so ist auch ln(x) < ln(y).
Definition 5.6. Für a ∈ R, a > 0 und x ∈ R definiert man die allgemeine Potenz
ax = ex ln(a) .
42
5.2 Trigonometrische und hyperbolische Funktionen
Bemerkung 5.7. Aus Satz 5.2 folgen direkt die Rechenregeln
(i) ax · ay = ex·ln(a) · ey·ln(a) = e(x+y) ln(a) = ax+y
(ii) a−x = e−x·ln(a) = e−(x·ln(a)) =
1
ex·ln(a)
=
1
ax
(iii) ax = ex·ln(a) > 0
(iv) Für a = 1 ist die Funktion f (x) = ax konstant, für a > 1 ist f (x) = ax streng
monoton wachsend, für a < 1 ist f (x) = ax streng monoton fallend.
Definition 5.8. Für a 6= 1 besitzt f (x) = ax nach Bemerkung 5.7(iv) und Satz 5.3 eine
Umkehrfunktion. Diese wird mit
loga : (0, ∞) → R
bezeichnet.
5.2 Trigonometrische und hyperbolische Funktionen
Definition 5.9 (Hyperbolische Funktionen). Die hyperbolischen Funktionen Sinus Hyperbolicus, Cosinus Hyperbolicus, Tangens Hyperbolicus und Cotangens Hyperbolicus
sind auf R definiert durch
ex − e−x
,
2
sinh(x)
tanh(x) =
,
cosh(x)
sinh(x) =
ex + e−x
,
2
cosh(x)
coth(x) =
.
sinh(x)
cosh(x) =
Bemerkung 5.10 (Hyperbel). Eine Hyperbel ist ein Kurvenpaar der Form
H = {(x, y) ∈ Rn | x2 − y 2 = 1}.
Diese Kurven können mit Hilfe der hyperbolischen Funktionen parametrisiert werden,
d.h.
H = {(cosh(t), sinh(t) | t ∈ R} ∪ {(− cosh(t), sinh(t) | t ∈ R}.
43
5 Elementare Funktionen
Bemerkung 5.11. Die Ableitungen der hyperbolischen Funktionen sind
ex − (−1) · e−x
ex + e−x
sinh (x) =
=
= cosh(x),
2
2
ex + (−1) · e−x
ex − e−x
cosh0 (x) =
=
= sinh(x),
2
2
cosh2 (x) − sinh2 (x)
1
0
tanh (x) =
=
2
cosh (x)
cosh2 (x)
1
sinh2 (x) − cosh2 (x)
=
coth0 (x) =
2
sinh (x)
sinh2 (x)
0
Bemerkung 5.12. sin, cos, tan, cot, sinh, cosh, tanh, coth können auf ihre Monotoniebereiche eingeschränkt werden, und besitzen dann eine Umkehrfunktion. Z.B.
sin[ −π , π ] ,
2 2
cos[0,π] ,
tan( −π , π ) ,
2 2
cot(0,π) ,
−π π
, ]
2 2
arccos : [−1, 1] → [0, π]
−π π
,
arctan : R →
2 2
arccot : R → (0, π)
arcsin : [−1, 1] → [
Satz 5.13. Es sei f : [a, b] → R differenzierbar und besitze eine Umkehrfunktion f −1 ,
und es gelte für ein x ∈ f ([a, b]), dass f 0 (f −1 (x)) 6= 0. Dann ist f −1 in x differenzierbar,
und es gilt:
0
1
.
f −1 (x) = 0 −1
f (f (x))
Beweis.
Satz 5.14. Durch Ableiten verifiziert man die folgenden Stammfunktionen
Z
Z
1
1
√
√
dx = arcsin(x) + C
oder
dx = − arccos(x) + C
2
2
1
−
x
1
−
x
Z
Z
1
1
dx = arctan(x) + C
oder
dx = − arccot(x) + C
2
1+x
1 + x2
Z
1
√
dx = arcosh(x) + C
2
x −1
Z
1
√
dx = arcsinh(x) + C
x2 + 1
44

Download Report