Blatt 4 - TU Dortmund

SS 16
TU Dortmund
Prof. Dr. Matthias Röger
Dipl.-Math. Carsten Zwilling
Analysis II
Blatt 4
Abgabe: 17.05.2016
Aufgabe 1 (4 Punkte). Sei X = C 0 ([−1, 1]) versehen mit der Norm
Z 1
|f (x)| dx, f ∈ C 0 ([−1, 1])
kf k1 =
−1
und der durch k · k1 induzierten Metrik. Betrachten Sie

1

−1 für − 1 ≤ x ≤ − n ,
fn (x) := nx für − n1 < x < n1 ,


1
für n1 ≤ x ≤ 1.
(1)
(2)
(3)
(4)
Skizzieren Sie fn .
Zeigen Sie, dass (fn )n∈N eine Cauchy-Folge in (X, d) ist.
Zeigen Sie, dass f (x) := limn→∞ fn (x) für alle x ∈ [−1, 1] existiert.
Zeigen Sie, dass (X, d) nicht vollständig ist.
Aufgabe 2 (4 Punkte). Sei f : [0, 1] → R eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass der Graph
von f , d.h. die Menge
Gf := (x, f (x)) : x ∈ [0, 1] ⊂ R2
in R2 abgeschlossen ist.
Gilt diese Aussage auch für unstetige Funktionen? Begründen oder widerlegen Sie ihre Aussage.
Aufgabe 3 (4 Punkte). Geben Sie für die folgenden Mengen M jeweils M , M̊ und ∂M an
(ohne Begründung). Entscheiden Sie jeweils, ob M abgeschlossen oder offen ist, und begründen
Sie Ihre Aussage.
i) M = (x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0
ii) M = (x, x1 ) ∈ R2 : x ∈ R \ {0}
iii) M = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1 . . . , n
iv) M = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 < 1 \ (x, y, z) ∈ R3 : z = 0
1

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