Blatt 4

Prof. Dr. Felix Leinen
13. November 2015
Geometrie, Algebra und Zahlentheorie“ im WS 15-16
”
ÜBlatt 4
Abgabe der Hausaufgaben bis Freitag, 20. November 2015, 13:00 Uhr.
Es werden maximal 30 Punkte gewertet.
1. Wir betrachten die Permutation σ = 1 3 2 4 7 6 1 6 4 2 3 5 .
(a) Verifizieren Sie die Gültigkeit der folgenden Gleichung unter Verwendung von Fadendia
grammen: σ = 1 6 4 2 3 5 1 5 2 4 6 7 .
[2 P]
(b) Zerlegen Sie die Permutation σ derart in eine Produkt von Nachbarvertauschungen, daß
die Anzahl der Faktoren des Produkts kleinstmöglich ist. (Begründung!)
[2 P]
2. (a) Die Gruppe Sym(7) hat bekanntlich die Mächtigkeit 7! = 5040 = 24 · 32 · 5 · 7 .
Begründen Sie, wieso die Gruppe Sym(7) keine Elemente der Ordnungen 8, 9 oder 15
enthält. Finden Sie ein Element größtmöglicher Ordnung in Sym(7) .
[3 P]
(b) Zeigen Sie, daß die alternierende Gruppe Alt(7) von den Zykeln der Länge 3 erzeugt wird.
[3 P]
(c) Klären Sie, ob der Satz von Lagrange in der alternierenden Gruppe Alt(4) umkehrbar
ist, d. h., ob es zu jedem Teiler d von |Alt(4)| eine Untergruppe mit d Elementen in
Alt(4) gibt.
[3 P]
3. Es seien m, n ∈ N. Die Primzahl p sei kein Teiler von m. Wir betrachten eine Gruppe G der
Mächtigkeit pn m . Es bezeichne Ω die Menge aller Teilmengen von G mit Mächtikeit pn .
(a) Zeigen Sie, daß G auf Ω operiert vermöge
g
T 7−→ g T = { g t | t ∈ T } für alle T ∈ Ω , g ∈ G.
|G| . Begründen Sie, wieso die Mächtigkeit von Ω nicht von p
(b) Offensichtlich ist |Ω| =
pn
geteilt wird.
[2 P]
[2 P]
(c) Folgern Sie, daß es eine G-Bahn ∆ in Ω gibt derart, daß die Mächtigkeit von ∆ nicht von
p geteilt wird.
[1 P]
(d) Für ein fest gewähltes T ∈ ∆ sei nun Q der Stabilisator von T in G. Zeigen Sie, daß die
Mächtigkeit der Gruppe Q von pn geteilt wird.
[1.5 P]
n
(e) Beweisen Sie, daß Q die Mächtigkeit p hat.
Tip. Betrachten Sie für ein fest gewähltes Element x ∈ T die Menge {a x | a ∈ Q} .
[2 P]
4. Es sei G die Symmetriegruppe des regulären 36 -Ecks.
(a) Wieviele Drehungen und Spiegelungen enthält G ?
(Begründung!)
[2 P]
(b) Zeigen Sie mittels Aufgabe 3: In G gibt es Untergruppen P und Q der Mächtigkeiten 8
und 9 derart, daß jedes Element g aus G eine eindeutige Darstellung der Form g = xy
mit x ∈ P und y ∈ Q hat.
[2.5 P]
(c) Wieviele Untergruppen der Mächtigkeit 9 enthält G ?
[2 P]
(Begründung!)
(d) Wieviele Drehungen und Spiegelungen enthält die Untergruppe P ?
(Begründung!)
(e) Bestimmen Sie die Anzahl der Untergruppen der Mächtigkeit 8 in G .
[2 P]
[2 P]

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