Blatt 7 - Institut für Mathematik

Humboldt-Universität zu Berlin
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
Institut für Mathematik
Unter den Linden 6, D-10099 Berlin
Doz.Dr.sc. Werner Kleinert
Übungsaufgaben Algebra und Zahlentheorie (SoSe 2016)
Serie 7
Abgabe: 15.06.2016 in der Vorlesung
Aufgabe 1 (Primzahlen (10 Punkte)).
Sei n ∈ N eine natürliche Zahl mit n ≥ 2.
(a) Zeigen Sie, dass n √
genau dann eine Primzahl ist, wenn n von keiner
Primzahl p mit p ≤ n geteilt wird.
(b) Prüfen Sie, ob die natürliche Zahl 2311 eine Primzahl ist.
(c) Zeigen Sie, dass folgender Primzahltest gilt:
Falls n ∈ N mit n ≥ 2 die Zahl (n − 1)! + 1 teilt, so ist n eine Primzahl.
Begründen Sie, warum dieser Primzahltest praktisch aber wenig nützlich
ist.
Aufgabe 2 (Gruppen und Gruppenhomomorphismen (10 Punkte)).
(a) Sei (Q, +) die additive Gruppe der rationalen Zahlen mit der üblichen
Addition von Brüchen. Bestimmen Sie alle Gruppenhomomorphismen
g : (Z, +) → (Q, +) und finden Sie heraus, ob darunter auch Gruppenisomorphismen sind.
(b) Begründen Sie, warum (Z, +) und (nZ, +) isomorphe Gruppen sind für
alle n ∈ N.
(c) Sei (G, ·) eine beliebige Gruppe, q ∈ Abb(G, G) mit q(x) := x · x und
inv ∈ Abb(G, G) mit inv(x) := x−1 für alle x ∈ G die Abbildungen
des Quadrierenes bzw. des Invertierens in G. Zeigen Sie die Äquivalenz
folgender Bedingungen:
(i) (G, ·) ist eine abelsche Gruppe.
(ii) q : G → G ist ein Gruppenhomomorphismus.
(iii) inv : G → G ist ein Gruppenautomorphismus.
Aufgabe 3 (Symmetrische Gruppe (10 Punkte)).
Sei n ≥ 2, n ∈ Z und Sn := {π : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} : π bijektiv} die
symmetrische Gruppe.
(a) Stellen Sie die Verküpfungstafeln für (S2 , ◦) und (S3 , ◦) auf.
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(b) Zeigen Sie, dass für alle n ≥ 3 die Gruppen (Sn , ◦) nicht kommutativ sind.
Vergessen Sie nicht,
1. die Lösungen jeder Aufgabe auf separaten Blättern abzugeben,
2. alle Blätter mit Name, Matrikelnummer und Übungsgruppe zu versehen,
3. Ihre Lösung stets auf Basis der Vorlesung bzw. Übung zu begründen.
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