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Prof. Dr. Marcel Griesemer
Roman Bauer, Dr. Jochen Schmid
FB Mathematik, Universität Stuttgart
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Termin: –
Probeklausur — Analysis 2 (SS 2016)
Der gesamte Vorlesungsstoff ist prüfungsrelevant. Vorlesungsthemen, die in dieser Probeklausur nicht abgedeckt sind, können also in der Prüfungsklausur selbstverständlich
auch abgefragt werden.
Termin:
Hinweise:
Hilfsmittel:
Bearbeitungszeit:
–
Lösen Sie bitte jede der Aufgaben auf einem neuen Blatt.
Alle nicht in der Vorlesung behandelten Sachverhalte sind zu beweisen,
Lösungsschritte entsprechend zu begründen. Verwendete Sätze sind zu benennen.
Am Ende der Klausur alle Lösungsblätter in das Umschlagblatt einlegen.
keine
120 min
Name:
Matrikel-Nr.:
Punkte:
A1
A2
A3
A4
A5
A6
Σ
Prof. Dr. Marcel Griesemer
Roman Bauer, Dr. Jochen Schmid
FB Mathematik, Universität Stuttgart
Aufgabe 1.
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Termin: –
a) Berechnen Sie die folgenden Integrale:
Z
i)
0
1Z x
−t2
e
dt dx
Z
3
ii)
4
8x sin(x ) dx,
Z
iii)
0
4
dx.
x2 − x − 2
b) Zeigen Sie, dass für jedes x ∈ R das uneigentliche Integral
Z ∞
2
cos(tx)e−t dt.
f (x) =
0
konvergent ist. Ist f differenzierbar? Begründen Sie Ihre Antwort und berechnen Sie gegebenenfalls f 0 (0).
Aufgabe 2. Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme:
i) y 0 = (2x + 3)(y 2 + 1),
ii) y 0 = xy + x cos(x2 ),
y(0) = 1,
y(0) = 0.
Aufgabe 3. Seien f, fn : R → R reelle Funktionen.
a) Geben Sie die Definition der punktweisen und der gleichmäßigen Konvergenz der Funktionenfolge (fn )n∈N gegen f an.
b) Zeigen Sie: wenn (fn )n∈N gleichmäßig gegen f konvergiert und die fn alle stetig sind, dann
ist auch f stetig.
c) Sei
fn (x) := √
nx2
1 + n2 x2
(x ∈ R, n ∈ N).
Zeigen Sie, dass die Folge (fn )n∈N gleichmäßig gegen x 7→ f (x) = |x| konvergiert.
Aufgabe 4.
a) Bestimmen Sie das Konvergenzintervall I der Potenzreihe
∞
X
(−1)k
k+1
k=0
xk .
und berechnen Sie für jedes x aus dem Inneren von I den Wert der Reihe.
b) Untersuchen Sie die Funktionenreihe
F (x) =
∞
X
n=1
n2
1
+ x2
auf gleichmäßige Konvergenz und zeigen Sie, dass F differenzierbar ist.
c) Berechnen Sie die Summe
∞ Z
X
k=0
und begründen Sie Ihr Vorgehen.
0
1
x2k+1 −2x2
e
dx
k!
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Roman Bauer, Dr. Jochen Schmid
FB Mathematik, Universität Stuttgart
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Termin: –
Aufgabe 5. Gegeben sei die Funktion
f : R3 → R,
f (x, y, z) = x − xy 2 + cos(x).
a) Bestimmen Sie den Gradienten und die Hessematrix von f .
b) Berechnen und charakterisieren Sie alle kritischen Stellen von f .
c) Zeigen Sie, dass f auf jeder abgeschlossenen Kugel BR (0) gleichmäßig stetig ist.
Aufgabe 6. Gegeben sei das Vektorfeld vα : R3 → R3 mit


(1 + x)ex + cos(z)
vα (x, y, z) =  (α2 − 1)x + α  .
−x sin(z)
a) Berechnen Sie alle Parameter α ∈ R, für welche vα ein Potential besitzt.
b) Bestimmen Sie für α = 1 ein Potential.
c) Sei D ⊂ Rd offen und v : D → Rd ein stetig differenzierbares Vektorfeld so, dass
Z
Z
v(x) · dx = v(x) · dx
γ
γ̃
für alle geschlossenen P C 1 -Kurven γ und γ̃, die in D homotop sind. Zeigen Sie, dass v
dann die Integrabilitätsbedingungen erfüllt.

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