Übungsblatt 7 Harmonische Analysis, SoSe 2016 Prof. Dr. Jürgen Saal, Dr. Matthias Köhne Abgabe: KW 24 in der Übung Gruppenübungen Aufgabe 10: (Duale Operatoren) Sei K messbar auf Rn \ { 0 }, so dass [K] ∈ S 0 (Rn ) ist und der zugehörige auf S(Rn ) wohldefinierte Faltungsoperator f 7→ [K] ∗ f : S(Rn ) −→ C ∞ (Rn ) eine eindeutige Fortsetzung T ∈ L(Lp (Rn )) besitzt für ein 1 < p < ∞. Man zeige, dass dann der Operator T 0 ∈ L(Lp0 (Rn )) mit p1 + p10 = 1, der gegeben ist durch Z f (x) T 0 g(x) dx = Z f ∈ Lp (Rn ), g ∈ Lp0 (Rn ), T f (x) g(x) dx, Rn Rn die eindeutige Fortsetzung des Faltungsoperators g 7→ [K 0 ] ∗ g : S(Rn ) −→ C ∞ (Rn ) ist, wobei K 0 (x) = K(−x) für x ∈ Rn \ { 0 }. Hausübungen – 4 + 4 Punkte Aufgabe 16: (Hörmander-Bedingung) Sei K messbar auf Rn \ { 0 }. Man zeige, dass die Gradienten-Bedingung sup |x|n+1 |∇K(x)| < ∞ x6=0 die Lipschitz-Bedingung |K(x − y) − K(x)| ≤ C 0 |y| , |x|n+ x, y ∈ Rn \ { 0 }, |x| > 2|y| mit C 0 , > 0 impliziert, und, dass diese wiederum die Hörmander-Bedingung Z sup |K(x − y) − K(x)| dx < ∞ y6=0 |x|>2|y| impliziert. Aufgabe 17: (Wachstums-/Aufhebungsbedingungen) Sei K messbar auf Rn \ { 0 }. Man zeige, dass die Abschätzungen sup |x|n |K(x)| < ∞, sup |x|n+1 |∇K(x)| < ∞ x6=0 x6=0 sowohl die Hörmander-Bedingung als auch die Wachstumsbedingung Z sup |K(x)| dx < ∞ R>0 R<|x|<2R implizieren, und dass damit zusammen mit der Aufhebungsbedingung Z sup K(x) dx < ∞ 0<r<R<∞ r<|x|<R sofort [K] ∈ S 0 (Rn ) und (f 7→ [K] ∗ f ) ∈ L(Lp (Rn )) folgen.