Karlheinz Gröchenig Peter Elbau Partielle Differentialgleichungen Fakultät für Mathematik Universität Wien 20. Mai 2016 Übungsblatt 9 Im folgenden ist U ⊆ Rd eine offene beschränkte Menge mit glattem Rand, wenn nicht anders angegeben. 1. Seien u1 ∈ C 2 (Ū ) und u2 ∈ C 2 (Ū ) zwei Lösungen des Neumann-Problems −∆u(x) = f (x), DN u(y) = g(y), x ∈ U, y ∈ ∂U, wobei N das nach außen zeigenden Normaleneinheitsvektorfeld auf ∂U ist und DN u die Richtungsableitung in Richtung von N bezeichnet. Zeigen Sie, daß u1 − u2 eine lokal konstante Funktion ist. 2. Sei B + = {x = (x0 , xd ) ∈ Rd−1 × R : |x| < 1, xd > 0} die obere Halbkugel. Sei u ∈ C(B + ) ∩ C 2 (B + ) harmonisch auf B + und u(x) = 0 für x = (x0 , 0) ∈ B + . Setze ( u(x0 , xd ) für xd ≥ 0 , v(x0 , xd ) = 0 −u(x , −xd ) für xd < 0 . Zeigen Sie, daß v ∈ C 2 (B1 (0)) ist und daß v harmonisch auf B1 (0) ist. 3. Sei U ⊆ Rd ein unbeschränktes Gebiet, U 6= Rd und u ∈ C 2 (Ū ). Zeigen Sie das folgende Maximumprinzip: Wenn u harmonisch auf U ist, dann gilt sup u(x) = max{ sup u(x), lim sup u(x)} . x∈U x∈∂U x∈U,|x|→∞ Hinweis: Wählen Sie zu beliebigem ε > 0 ein R > 0 so, daß die Abschätzung supx∈U ∩BR (0) u(x) ≥ supx∈U u(x) − ε gilt (warum ist das möglich?), und wenden Sie dann das Maximumprinzip auf U ∩ BR (0) an. 4. (a) Für komplexwertige Funktionen u : U → C definiere Z hu, vi = u(x)v(x) + Du(x) · Dv(x) dx . (1) U Zeigen Sie, daß h·, ·i ein inneres Produkt auf C 1 (Ū ) definiert. (b) Sei nun U = B1 (0) ⊆ R2 . Für n ≥ 0 sei en (x, y) = (x + iy)n und für n < 0 sei en (x, y) = (x − iy)|n| . Zeigen Sie, daß {en : n ∈ Z} eine orthogonale p Menge bezüglich des inneren Produkts in (1) ist und berechnen Sie ken k = hen , en i. —– 1