４．行列の基本変形とその応用
1
行列の行基本変形
2
連立方程式の解法と行列の行基本変形
連立方程式の加減法による解法を考察する。
ìï 2x + y = 3 L (1)
ï
í
ïï 3x - y = 7 L (2)
ïî
(1) + (2)
式を減らすと、
逆方向の計算
ができない。
5x = 10
同値な変形ではない。
3
同値な変形
ìï 2x + y = 3 L (1)
ï
í
ïï 3x - y = 7 L (2)
ïî
(2) ' = (1) + (2)
ìï 2x
ï
í
ïï 5x
ïî
式を減らさずに
変形する。
(2) = (2) '- (1)
+y = 3
L (1)
= 10 L (2) ' = (1) + (2)
同値な変形
4
同値な変形による連立方程式の解法
ìï 2x
ï
í
ïï 3x
î
+y
= 3
-y
= 7
式の加算
ìï 2x
ï
í
ïï 5x
î
+y = 3
ìï 2x
ï
í
ïï x
î
+y
ìï 2x
ï
í
ïï 2x
î
+y
= 10
= 3
ìï
y = - 1
ï
í
ïï 2x
= 4
î
ìï
y = - 1
ï
í
= 2
式のスカラー ïïî x
倍
式の交換
= 2
= 3
= 4
ìï x
= 2
ï
í
ïï
y = - 1
î
5
３種類の同値変形１
Ｉ：
ある式をスカラー倍（ k (k ¹ 0) 倍）する。
ＩＩ：
ある式を他の式に加えたり、引いたりする。
ＩＩＩ：
２つの式を交換する。
これでもいいのだが、通常は、
ＩとＩＩを組み合わせたものを
ＩＩ’とすることが多い。
6
３種類の同値変形２
定義（連立方程式の同値変形）
Ｉ：
ある式をスカラー倍（ k (k ¹ 0) 倍）する。
k
ＩＩ：
ある式を他の式
倍して加える。
ＩＩＩ：
２つの式を交換する。
こちらの変換の組を用いることが多い。
7
同値な変形による連立方程式の解法
ìï 2x +
ï
í
ïï 3x ïî
ìï 2x
ï
í
ïï 5x
ïî
+
ìï 2x
ï
í
ïï x
ïî
+
y = 3 L (1)
(1) ' « (2) ''
y = 7 L (2)
y = 3
(2) ' = (1) + 1 ´ (2) ìï x
= 2
ï
í
L (1)
ïï
y = - 1
î
= 10 L (2) '
1
(2) '' = ´ (2) '
5
y = 3 L (1)
= 2 L (2) ''
(1) ' = (1) - 2 ´ (2) ''
ìï
ï
í
ïï x
ïî
y = - 1 L (1) '
= 2
L (2) ''
この一連の変形を
行列を用いて表現する。
8
同値な変形と行列の変換
ìï 2x
ï
í
ïï 3x
î
ìï 2x
ï
í
ïï 5x
î
+y
= 3
-y
= 7
(2) ' = (2) + 1 ´ (1)
é2 1ùéx ù
ê
úê ú=
ê5 0úêy ú
êë
ú
ûë û
+y = 3
ìï 2x + y
ï
í
ïï x
î
ìï
y =
ï
í
ïï x
=
î
= 10
= 3
1
(2) '' = (2) '
5
= 2
(1) ' = (1) - 2 ´ (2) ''
- 1
2
ìï x
= 2
ï
í
ïï
y = - 1
î
é2 1 ùéx ù
ê
úê ú=
ê3 - 1úêy ú
êë
ú
ûë û
(1) ' « (2) ''
é3ù
êú
ê7ú
êë ú
û
(2) ' = (2) + 1 ´ (1)
é3 ù
ê ú
ê10ú
êë ú
û
(2) '' =
é2 1ùéx ù
ê
úê ú=
ê1 0úêy ú
êë
ú
ûë û
é3ù
êú
ê2ú
êë ú
û
é0 1ùéx ù
ê
úê ú=
ê1 0úêy ú
êë
ú
ûë û
é- 1ù
ê ú
ê2 ú
êë ú
û
é1 0ùéx ù
ê
úê ú=
ê0 1úêy ú
êë
ú
ûë û
é2 ù
ê ú
ê- 1ú
êë ú
û
1
(2) '
5
(1) ' = (1) - 2 ´ (2) ''
(1) ' « (2) ''
9
行列の行基本変形
é2 1 ù
ê
ú
ê3 - 1ú
êë
úû
2
(2) ' = (2) + 1 ´ (1)
é2 1ù
ê
ú
ê5 0ú
êë
úû
1
3 - 1
5 0
1
(2) '
5
2 1
1 0
(1) ' = (1) - 2 ´ (2) ''
0 1
(2) + 1 ´ (1)
1
(2)
5
(1) - 2 ´ (2)
1 0
é0 1ù
ê
ú
ê1 0ú
êë
úû
é1 0ù
ê
ú
ê0 1ú
変形
2 1
(2) '' =
é2 1ù
ê
ú
ê1 0ú
êë
úû
係数行列
1 0
(1) ' « (2) ''
(1) « (2)
0 1
10
行列の行基本変形
Ｉ：
ある行をスカラー倍（ k (k ¹ 0) 倍）する。
ＩＩ：
ある行を他の式に k 倍して加える。
ＩＩＩ：
２つの行を交換する。
重要
11
例
次の行列を行基本変形を用いて、単位行列にせよ。
解）
é 2 - 4ù
ê
ú
ê- 3 5 ú
êë
úû
é 2 - 4ù 1´ (1)
é 1 - 2ù
(2)+ 3´ (1)
2
ê
ú¾ ¾
ê
ú¾ ¾
¾®
¾ ¾®
ê- 3 5 ú
ê- 3 5 ú
êë
ú
êë
ú
û
û
é1 - 2ù
é1 0ù
( - 1)´ (2)
(1)+ 2´ (2)
ú¾ ¾
ê
ú
¾¾
¾ ¾® êê
¾
¾®
ú
ê0 1ú
0
1
êë
ú
êë
ú
û
û
é1 - 2ù
ê
ú
ê0 - 1ú
êë
ú
û
あくまで、変形なので、矢印を用いる。
行列としては等しくないので、
「＝」を用いてはいけない。
12
練習
次の行列を行基本変形を用いて、単位行列にせよ。
（１）
（２）
é2 - 1ù
ê
ú
ê1 2 ú
êë
ú
û
é1 0 1ù
ê
ú
ê
ú
ê1 1 1ú
ê
ú
ê2 1 1ú
êë
úû
13
1次方程式と連立方程式
一次方程式
未知数
5x 3
係数
定数
2元連立１次方程式
2 x 3 y 3
x 5 y 7
2 3 x 3
1 5 y 7
2 3 x x , b 3
A
,
y
7
1 5
係数行列
Ax = b
変数ベクトル
（未知数ベクトル）
として、
定数項ベクトル
14
拡大係数行列
連立方程式を定めるには、
変数の名前（ x や y 、あるいは xi ）は重要ではない。
すなわち、その係数行列と定数項ベクトルだけがあれば
連立方程式が一意に定まる。
定義（拡大係数行列）
連立方程式 A x = b に対して、係数行列 A と
定数項ベクトル b から作られる次の行列
[A | b ]
を拡大係数行列という。
このように、小行列や、ベクトルで定められる
行列をブロック行列という。
15
例１
ìï 2x - y + z
ïï
ïï 3x + 2y - z
ï
í
ïï - x + y + 2z
ïï
ïï 2x + 3y + z
î
= 5
= - 2
= 1
= - 1
この連立方程式に対して、係数行列 A 、未知数ベクトル x
定数項ベクトル b 、拡大係数行列 [A | b ]は次のようになる。
é2 - 1 1 ù
éx ù
é5 ù
ê
ú
ê ú
êú
ê3
ú
ê- 2ú
2 - 1ú
ê
ú
ê
ê ú
x = êy ú
A = ê
ú
b
=
ê ú
2ú
ê- 1 1
ê
ú
ê1 ú
ê
ú
z
êë úû
ê ú
ê2
ú
3
1
ê- 1ú
êë
úû
êë úû
é2 - 1 1
5ù
ê
ú
ê3
2 - 1 - 2úú
ê
[A | b ]= ê
ú
2
1ú
ê- 1 1
ê
ú
ê2
3
1 - 1úú
êë
û
16
例2
ìï x + 2x + 3x + 4x
2
3
4
ïï 1
ï
+ 2x 4
í 2x 1 - x 2
ïï
ïï - 3x 1
+ x 3 + 5x 4
ïî
= 5
= 3
= - 2
この連立方程式に対して、係数行列 A 、未知数ベクトル x
定数項ベクトル b 、拡大係数行列 [A | b ]は次のようになる。
éx 1 ù
ê ú
é1
ù
é ù
2
3
4
x2 ú
ê
ú
ê
ê3 ú
ê
ú
ê ú
x = êx ú
A = ê2
- 1 0 2ú
b = ê5 ú
ê 3ú
ê
ú
ê ú
ê
ú
ê- 3 0
ú
1
5
ê- 2ú
êë
ú
û
êêx 4 úú
êë úû
ë û
é1
2
3 4 5 ù
ê
ú
ê
ú
[A | b ]= ê2 - 1 0 2 3 ú
ê
ú
ê- 3 0
1 5 - 2ú
êë
ú
û
17
拡大係数行列と連立方程式の解法
é2 1 ùéx ù
ê
úê ú=
ê3 - 1úêy ú
êë
ú
ûë û
é2 1ùéx ù
ê
úê ú=
ê5 0úêy ú
êë
ú
ûë û
é3ù
êú
ê7ú
êë ú
û
拡大係数行列
(2) ' = (2) + 1 ´ (1)
é3 ù
ê ú
ê10ú
êë ú
û
2 1 3
1
(2) '' = (2) '
5
é3ù
êú
ê5ú
êë ú
û
é0 1ùéx ù
ê
úê ú=
ê1 0úêy ú
êë
ú
ûë û
é- 1ù
ê ú
ê5 ú
êë ú
û
é5 ù
ê ú
ê- 1ú
êë ú
û
3
3 - 1 7
é2 1ùéx ù
ê
úê ú=
ê1 0úêy ú
êë
ú
ûë û
é1 0ùéx ù
ê
úê ú=
ê0 1úêy ú
êë
ú
ûë û
2 1
変形
5 0 10
2 1 3
(1) ' = (1) - 2 ´ (2) ''
1 0 2
0 1 - 1
1 0 2
(1) ' « (2) ''
(2) + 1 ´ (1)
1 0 2
1
(2)
5
(1) - 2 ´ (2)
(1) « (2)
0 1 - 1
18
行列の基本変形と基本変形行列
一般の n 元１次連立方程式を考える。
ìï a11x 1 + a12x 2 + L + a1n x n
ïï
ïï a x + a x + L + a x
22 2
2n n
ï 21 1
í
ïï
M
ïï
ïï am 1x 1 + am 2x 2 + L + amn x n
ïî
= b1 L (1)
= b2 L (2)
= bm L (m )
m ´ n の係数行列 A = [a ]
n ´ 1 の未知数（列）ベクトル
m ´ 1 の定数項（列）ベクトル
ij
x = [x i ]
b = [bi ]
とすると、以下のように表せる。
Ax = b
19
式の定数倍に対応する基本変形行列
ある式を定数倍しても、連立方程式の解には変化は無い。
ìï a11x 1 + a12x 2 + L + a1n x
ïï
ïï
M
ïï
ïïï ka x + ka x + L + ka x
í i1 1
i2 2
in n
ïï
ïï
M
ïï
ïï am 1x 1 + am 2x 2 + L + amn x n
ïî
= b1
L (1)
= kbi
L k ´ (i )
= bm
L (m )
これを行列の積で表現したい。
20
基本変形行列１（行列の行の定数倍）
T k´ ( i )
i 行を k
m´ m
é1
ê
ê O
ê
ê
ê
ê
= êê
ê
ê
ê
ê O
ê
ê
êë
O
1
k
倍する
の正方行列。
正方行列を乗じても、
行列の形が変わらないことに
注意する。
T k´ (i )A x = T k´ (i )b
1
O
ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú (i )
ú
ú
ú
ú
ú
ú
1ú
ú
û
21
例１
T (- 1)´ (2)
é0
4 - 1ù
ê
ú
ê
ú
ê- 2 - 3 - 4ú
ê
ú
ê5
ú
0
2
êë
ú
û
é
ê
êê
ê
ê
ê
ê
êë
1 - 3 3ù
ú
2 - 2 5úú
ú
5
3 4ú
ú
7
2 1úú
û
é1 0 0ù
ê
ú
ê
ú
= ê0 - 1 0ú
ê
ú
ê0 0 1ú
ú
ëê
û
é1 0 0ùé 0
4 - 1ù
ê
úê
ú
ê
úê
ú
ê0 - 1 0úê- 2 - 3 - 4ú=
ê
úê
ú
ê0 0 1úê 5
ú
0
2
êë
úê
ú
ûë
û
左から掛ける
T 2´ ( 3)
é1
ê
ê0
ê
= ê
ê0
ê
ê0
êë
0 0 0ù
ú
1 0 0úú
ú
0 2 0ú
ú
0 0 1úú
û
左から掛ける
é1
ê
ê0
ê
ê
ê0
ê
ê0
ëê
0 0 0ùé
úê
1 0 0úê
úêúê
0 2 0úê
úê
0 0 1úê
úê
ûë
1 - 3 3ù
ú
2 - 2 5ú
ú
ú=
5
3 4ú
ú
7
2 1ú
ú
û
é0 4 - 1ù
ê
ú
ê
ú
ê2 3 4 ú
ê
ú
ê5 0 2 ú
êë
ú
û
é 1 - 3 3ù
ê
ú
ê- 2 - 2 5ú
ê
ú
ê
ú
6 8ú
ê10
ê
ú
ê 7
ú
2
1
ú
ëê
û
22
練習
é1 7 5 0
- 1ù
ê
ú
ê
ú
A = ê0 1 3 - 1 2 ú
ê
ú
ê0 4 2 0
1 ú
ú
ëê
û
とする。
行列 A の３行目を２倍にする変換行列T 2´ (3) を求め、
積 T
A を計算せよ。
2´ (3)
23
加減法に対応する基本変形行列
ìï
M
ïï
ïï a x + a x + L + a x
i2 2
in n
ïï i 1 1
ïïï
M
í
ïï
ïï a j 1x 1 + a j 2x 2 + L + a jn x
ïï
ïï
M
ïî
ìï
ïï
ïï (a + ka )x
j1
1
ïï i 1
ï
í
ïï
ïï
a j 1x 1
ïï
ïï
ïî
= bi
L (i )
= bj
L (j)
M
+
(ai 2 + ka j 2 )x 2
+
L
+
(a i 2 + ka j 2 )x 2
a j 2x 2
bi + kbj
L (i ') = (i ) + k ´ ( j )
M
+
=
+
L
+
a jn x n
M
行を他の行へ定数倍して加算しても、
連立方程式は変わらない。
=
bj
L (j)
24
基本変形行列２（行の他の行への加算）
i
é1
ê
ê O
ê
ê
ê
ê
T (i )+ k´ ( j ) = êê
ê
ê
ê
ê O
ê
i 行に j 行を 倍して加算 êê
ë
する m ´ m の正方行列。
j
O
1 L
O
k
M
1
k
T (i )+ k´ ( j )A x = T (i )+ k´ ( j )b
O
ù
ú
ú
ú
ú
ú (i )
ú
ú
ú
ú (j)
ú
ú
ú
ú
1ú
ú
û
25
例１
T (2)+ 2´ ( 3)
é0
4 - 1ù
ê
ú
ê
ú
ê- 2 - 3 - 4ú
ê
ú
ê5
0
2ú
ú
ëê
û
左から掛ける
T (4)+ 2´ (2)
é
ê
êê
ê
ê
ê
ê
êë
1 - 3 3ù
ú
2 - 2 5úú
ú
5
3 4ú
ú
7
2 1úú
û
é1 0 0ù
ê
ú
ê
ú
= ê0 1 2ú
ê
ú
ê0 0 1ú
ú
ëê
û
é1
ê
ê0
ê
= ê
ê0
ê
ê0
êë
0 0 0ù
ú
1 0 0ú
ú
ú
0 1 0ú
ú
2 0 1ú
ú
û
左から掛ける
é1 0 0ùé 0
4 - 1ù
ê
úê
ú
ê
úê
ú
ê0 1 2úê- 2 - 3 - 4ú=
ê
úê
ú
ê0 0 1úê 5
0
2ú
úê
ú
ëê
ûë
û
é1
ê
ê0
ê
ê
ê0
ê
ê0
êë
0 0 0ùé
úê
1 0 0úê
úêúê
0 1 0úê
úê
2 0 1úê
úê
ûë
é0 4 - 1ù
ê
ú
ê
ú
ê8 - 3 0 ú
ê
ú
ê5 0
2ú
ú
ëê
û
1 - 3 3ù
ú
2 - 2 5ú
ú
ú=
5
3 4ú
ú
7
2 1ú
ú
û
é
ê
êê
ê
ê
ê
ê
êë
1 - 3
3ù
ú
2 - 2 5ú
ú
ú
5
3 4ú
ú
3 - 2 11ú
ú
û
26
練習
é1 7 5 0
- 1ù
ê
ú
ê
ú
A = ê0 1 3 - 1 2 ú
ê
ú
ê0 4 2 0
1 ú
ú
ëê
û
とする。
行列 A の２行目のー１倍を１行目に加算する変換行列T (1)+ (- 1)´ (2)
を求め、積T (1)+ (- 1)´ (2)A を計算せよ。
27
連例方程式での式の交換
ìï
M
ïï
ïï a x + a x + L + a x
i2 2
in n
ïï i 1 1
ïïï
M
í
ïï
ïï a j 1x 1 + a j 2x 2 + L + a jn x n
ïï
ïï
M
ïî
ìï
M
ïï
ïï a x + a x + L + a x
j2 2
jn n
ïï j 1 1
ïïï
M
í
ïï
ïï a i 1x 1 + a i 2x 2 + L + a in x
ïï
ïï
M
ïî
= bi
L (i )
= bj
L (j)
= bj
L (i ') = ( j )
= bi
L ( j ') = (i )
行を交換しても、連立方程式は変わらない。
28
行列の基本変形３（行の交換）
i
T ( i )« ( j )
i 行に j
m´ m
行を交換する
の正方行列。
é1
ê
ê O
ê
ê
1
ê
ê
ê
0 L L
ê
ê
M 1
ê
ê
M
O
= êê
ê
M
ê
ê
ê
1 L L
ê
ê
ê
ê
ê O
ê
ê
êë
T (i )« ( j )A x = T (i )« ( j )b
j
ù
ú
O úú
ú
ú
ú
ú (i )
L 1
ú
ú
M
ú
ú
ú
M
ú
ú
1 M
ú
ú
ú( j )
L 0
ú
ú
1
ú
ú
O
ú
ú
1úú
û
29
例１
T (2)« ( 3)
é0
4 - 1ù
ê
ú
ê
ú
ê- 2 - 3 - 4ú
ê
ú
ê5
0
2ú
ú
ëê
û
左から掛ける
T (1)« ( 4)
é
ê
êê
ê
ê
ê
ê
êë
1 - 3 3ù
ú
2 - 2 5úú
ú
5
3 4ú
ú
7
2 1úú
û
é1 0 0ù
ê
ú
ê
ú
= ê0 0 1ú
ê
ú
ê0 1 0ú
ú
ëê
û
é0
ê
ê0
ê
= ê
ê0
ê
ê1
êë
0 0 1ù
ú
1 0 0ú
ú
ú
0 1 0ú
ú
0 0 0ú
ú
û
左から掛ける
é1 0 0ùé 0
4 - 1ù
ê
úê
ú
ê
úê
ú
ê0 0 1úê- 2 - 3 - 4ú=
ê
úê
ú
ê0 1 0úê 5
0
2ú
úê
ú
ëê
ûë
û
é0
ê
ê0
ê
ê
ê0
ê
ê1
ëê
0 0 1ùé
úê
1 0 0úê
úêúê
0 1 0úê
úê
0 0 0úê
úê
ûë
é0
4 - 1ù
ê
ú
ê
ú
0
2ú
ê5
ê
ú
ê- 2 - 3 - 4ú
ú
ëê
û
1 - 3 3ù
ú
2 - 2 5ú
ú
ú=
5
3 4ú
ú
7
2 1ú
ú
û
é
ê
êê
ê
ê
ê
ê
ëê
2 1ù
ú
2 - 2 5ú
ú
ú
5
3 4ú
ú
1 - 3 3ú
ú
û
7
30
練習
é1 7 5 0
- 1ù
ê
ú
ê
ú
A = ê0 1 3 - 1 2 ú
ê
ú
ê0 4 2 0
1 ú
ú
ëê
û
とする。
行列 A の１行目と３行目に交換する変換行列 T (1)« (3)
を求め、積 T (1)« (3)A を計算せよ。
31
基本変形行列の積
é2 1 ù
ú
A = êê
ú
3
1
êë
ú
û
(2) + 1 ´ (1)
é2 1ù
ê
ú
ê5 0ú
êë
úû
T (2)+ 1´ (1)A
é1 0ùé2 1 ù
ê
úê
ú
ê1 1úê3 - 1ú=
êë
úê
ú
ûë
û
é2 1ù
ê
ú
ê5 0ú
êë
ú
û
1
(2)
5
é2 1ù
ê
ú
ê1 0ú
êë
úû
T 1 T (2)+ 1´ (1)A
´ (2)
5
é1 0 ùé1 0ùé2 1 ù é1 0 ùé2 1ù
ê
ú
úê
úê
ú= êê
ú
ê 1 úêê
úê
1
úê
ú
ê0
úê1 1úê3 - 1ú ê0
úê5 0úú
û
ûë
û êë 5 úûë
êë 5 úûë
é2 1ù
ú
= êê
ú
1
0
ëê
ûú
32
(1) - 2 ´ (2)
é0 1ù
ê
ú
ê1 0ú
êë
úû
T (1)- 2´ (2)T 1 T (2)+ 1´ (1)A
´ (2)
5
(1) « (2)
é1 0ù
ê
ú
ê0 1ú
êë
úû
T (1)« (2)T (1)- 2´ (2)T 1 T (2)+ 1´ (1)A
´ (2)
5
é1 - 2ùéê1 0 ùúé1 0ùé2 1 ù
ê
úê
ê
úê
ú
ú
1
ê0 1 úê0
úêê1 1úê
3 - 1úú
êë
úûê
úê
ûë
û
ë 5 úûë
é1 - 2ùé2 1ù
úê
ú
= êê
úê
1 0úú
êë0 1 úê
ûë
û
é0 1ù
ú
= êê
ú
êë1 0úû
é0 1ùé1 - 2ùéê1 0 ùúé1 0ùé2 1 ù
ê
úê
úê
ê
úê
ú
ú
1
ê1 0úê0 1 úê0
úêê1 1úê
3 - 1úú
êë
úê
ú
úê
ûë
ûêë 5 úûë
ûë
û
é0 1ùé0 1ù
úê
ú
= êê
úê
1 0úú
êë1 0úê
ûë
û
é1 0ù
ú
= êê
ú
êë0 1úû
33
基本変形行列の積と逆行列
é2 1 ù
ú に対して、
A = êê
ú
3
1
êë
ú
û
æ
ö
÷
ççT
T (1)- 2´ (2)T 1 T (2)+ 1´ (1) ÷
A = E
(1)
«
(2)
÷
çè
´ (2)
÷
ø
5
が成り立つ。
ここで、
X º T (1)« (2)T (1)- 2´ (2)T 1 T (2)+ 1´ (1)
´ (2)
5
とおく。
XA = E
\ X = A
- 1
= T (1)« (2)T (1)- 2´ (2)T 1 T (2)+ 1´ (1)
´ (2)
5
34
基本変形行列の性質１
（基本変形行列の正則性）
基本変形行列は、すべて正則行列である。
（逆行列が存在する。）
証明
（１）
実際に逆行列を示す。
T k´ (i )T 1
k
（２）
（３）
´ (i )
= T 1 T k´ ( i ) = E
k
´ (i )
T (i )+ k´ ( j )T (i )- k´ ( j ) = T (i )- k´ ( j )T (i )+ k´ ( j ) = E
T (i )« ( j )T (i )« ( j ) = T (i )« ( j )T (i )« ( j ) = E
QED
35
例
（１）
T 2´ (2)T 1
´ (2)
2
é1 0 0ùéê1
ê
úê
ê
ú
= ê0 2 0úê0
ê
úêê
ê0 0 1úê0
ú
ëê
ûêë
（２）
T (2)- 2´ (3)T (2)+ 2´ (3)
（３）
T (2)« (4)T (2)« (4)
é1
ê
ê0
ê
ê
= ê0
ê
ê0
ê
ê0
êë
é1
ê
ê0
ê
= ê
ê0
ê
ê0
êë
0 0ù
ú
1 ú
0ú=
2 ú
ú
0 1ú
ú
û
0ùé1
úê
1 - 2 0úê
úê0
úê
0 1
0úê0
úê
0 0
1 úê
0
úê
ûë
0 0
0 0 0 0ùé1
úê
0 0 1 0úê
úê0
úê
0 1 0 0úê0
úê
1 0 0 0úê0
úê
0 0 0 1 úê
0
úê
ûë
é1 0 0ù
ê
ú
ê
ú
0
1
0
ê
ú= E
ê
ú
ê0 0 1ú
ú
ëê
û
0 0 0ù
ú
1 2 0ú
ú
ú=
0 1 0ú
ú
0 0 1ú
ú
û
0 0 0 0ù
ú
0 0 1 0ú
ú
ú
0 1 0 0ú=
ú
1 0 0 0ú
ú
0 0 0 1ú
ú
û
é1
ê
ê0
ê
ê
ê0
ê
ê0
ê
ê0
êë
é1
ê
ê0
ê
ê
ê0
ê
ê0
êë
0 0 0ù
ú
1 0 0ú
ú
ú= E
0 1 0ú
ú
0 0 1ú
ú
û
0 0 0 0ù
ú
1 0 0 0ú
ú
ú
0 1 0 0ú= E
ú
0 0 1 0ú
ú
0 0 0 1ú
ú
û 36
基本変形行列の性質２
（基本変形行列の積）
基本変形行列の積で得られる行列は正則である。
証明
正則行列の積は正則である。
QED
実際、 A , B を正則行列とし、その積 C º A B を考える。
まず、 A は正則なので逆行列 A - 1 が存在する。
同様に、逆行列 B - 1 も存在する。
よって、積 X = B - 1A - 1 が構成できる。
このとき、以下のように計算できる。
X C = (B - 1A - 1 )(A B ) = B - 1(A - 1A )B = B - 1EB = B - 1B = E
C X = (A B ) (B - 1A - 1 ) = A (B B - 1 )A - 1 = A EA - 1 = A A - 1 = E
\ X = C-1
したがって、逆行列が存在するのでC
= A B は正則行列。
37
行列の基本変形の応用１
（逆行列を求める）
38
行基本変形による逆行列の求め方
n
A = [aij ] を
次の正方行列とする。
n ´ 2n の行列 [A | E ] を行基本変形で、[E | B ]
の形に変形できれば、 A は正則行列で、 B = A - 1
である。ここで、 [A | E ] は n 次正方行列 A , E
を横に並べた行列を表す。
éa11 L
ê
êM O
ê
ê
ê
ê
êan 1
êë
a1n 1
0
L
0
1
O
MO
O
ann 0 L
0
0ù
ú
Mú
ú
ú
0ú
ú
1ú
ú
û
é1
ê
ê0
ê
ê
êM
ê
ê0
êë
0
L
0 b11 L
1
O
MM O
O
O
0
L
0
1 bn 1
b1n ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
bnn ú
ú
û
A = [aij ] と B = [bij ] は互いに逆行列。
39
証明
行に関する基本変形を行うことは、いくつかの基本変形行列
を左から掛けることであった。
これらの積を X とすると、 X は正則行列である。
この X を用いて
X [A | E ] = [E | B ]
となる。
これより、
X A = E,
である。
よって、
X = A - 1,
である。
X = B
X = B
QED
40
連立方程式との関係
é2 1 ùéx ù
ê
úê ú=
ê3 - 1úêy ú
êë
ú
ûë û
é3ù
êú
ê7ú
êë ú
û
é2 1 ùéx ù
ê
úê ú=
ê3 - 1úêy ú
êë
ú
ûë û
é1 0ùé3ù
ê
úê ú
ê0 1úê7 ú
êë
úê
ûë ú
û
(2)+ 1´ (1)
é1 0ùé2 1 ùéx ù
ê
úê
úê ú=
ê1 1úê3 - 1úêy ú
êë
úê
ú
ûë
ûë û
é3ù
b = êê úú
êë7 úû
é2 1 ù
éx ù
ú x = êú
A = êê
ú
yú
ê
3
1
ëû
êë
ú
û
Ax = b
é1 0ùé1 0ùé3ù
ê
úê
úê ú
ê1 1úê0 1úê7ú
êë
úê
úê
ûë
ûë ú
û
A x = Eb
(2)+ 1´ (1)
T (2)+ 1´ (1)A x = T (2)+ 1´ (1)Eb
41
1
(2)
5
é1 0 ùé1 0ùé2 1 ù x
é1
é
ù
ê
ú
úê
úê ú= êê
ê 1 úêê
êëy ú
ê0
úê1 1úê
ê0
3 - 1ú
û
úê
ú
ë
ûë
û
êë 5 ú
êë
û
(1) é1 - 2ùéê1 0 ùúé1
ê
ú
ê
ê0 1 úêê0 1 úúê1
êë
úûê
ê
ë 5 úûë
é1 - 2ùéê1
úê
= êê
ú
êë0 1 úûêê0
ë
0 ùé1 0ùé1 0ùé3ù
úê
úê
úê ú
1ú
ê
úê
úê1 1úê0 1úê
7ú
úê
ûë
ûë ú
û
5ú
ûë
T 1 T (2)+ 1´ (1)A x = T 1 T (2)+ 1´ (1)Eb
´ (2)
5
´ (2)
5
2 ´ (2)
0ùé2 1 ùéx ù
úê
úê ú
úê
1úê3 - 1úúêëy úû
ûë
û
0 ùé1 0ùé1 0ùé3ù
úê
úê
úê ú
1 úúê1 1úê0 1úê7 ú
ê
úê
úê
ûë
ûë úû
5 úûë
(1) « (2)
é0 1ùé1 - 2ùéê1 0 ùúé1
ê
úê
ú
ê
ê1 0úê0 1 úêê0 1 úúê1
êë
úê
úûê
ê
ûë
ë 5 úûë
é0 1ùé1 - 2ùéê1
úê
úê
= êê
ú
1 0úê
úê0 1 ûúêê0
ëê
ûë
ë
1
(2)
5
0ùé2 1 ùéx ù
úê
úê ú
úê
1úê3 - 1úúêëy úû
ûë
û
0 ùé1 0ùé1 0ùé3ù
úê
úê
úê ú
1 úúê1 1úê0 1úê7 ú
ê
úê
úê ûú
ûë
ûë
5 úûë
(1) - 2 ´ (2)
T (1)- 2´ (2)T 1 T (2)+ 1´ (1)A x
´ (2)
5
= T (1)- 2´ (2)T 1 T (2)+ 1´ (1)Eb
´ (2)
5
(1) « (2)
T (1)« (2)T (1)- 2´ (2)T 1 T (2)+ 1´ (1)A x
´ (2)
5
= T (1)« (2)T (1)- 2´ (2)T 1 T (2)+ 1´ (1)Eb
´ (2)
5
42
X º T (1)« (2)T (1)- 2´ (2)T 1 T (2)+ 1´ (1)
´ (2)
5
é0 1ùé1 - 2ùéê1 0 ù
ù
úêé1 0ú
ê
úê
ú
= ê
úê0 1 úêê0 1 ú
úêê1 1ú
1
0
êë
úê
ú
ú
ûë
ûêë 5 ú
û
ûë
X A x = X Eb
é1 1 ù
úé3ù
é1 0ùéx ù ê
5
5
ê
úê ú
ê
úê ú=
ê
úê7ú
ê0 1úêy ú 3
2
ê
êë
ú
êë ú
ûë û ê - ú
û
ú
5û
ë5
QXA = E
x = Xb
= A - 1b
\ X = A- 1
43
掃きだし法
逆行列を作るときには、
対角成分に注目する。
• 系統的な行基本変形
– （１）ある要素を１にする。（スカラー倍の基本
変形 T k´ ( i ) ）
– （２）その列の（１）の要素以外を０にする。（加
減法の基本変形 T ( j )- s´ (i ) ）
– これらを左から順に全ての列に行う。
44
j 列における掃き出し
A = [aij ] を m
éa11
ê
êM
ê
êai 1
ê
ê
êM
ê
êêam 1
ë
´ n 行列とする。
a1n ù
ú
O M
Mú
ú
L aij L ain úú
ú
M O Mú
ú
L amj L amn úú
û
L
a1 j L
同様に、繰り返し
aij ¹ 0 のとき、
T
1
´ (i )
aij
を左からかける。
éa11
ê
êM
ê
êa i 1
ê
êaij
ê
êM
ê
ê
êëêam 1
L
a1 j
O
M
L
1
L
L
L
M O
am j L
a1n ù
ú
Mú
ú
ain úú
aij úú
Múú
ú
a mn úú
û
T ( k )- akj ´ ( i ) を左からかける。
éa '11
ê
ê M
ê
êa
ê i1
êa
ê ij
ê
ê M
ê
êa 'm 1
êë
L
0 L
O
M
L
1 L
MO
L
0 L
a '1n ù
ú
M úú
ain úú
aij úú
ú
Mú
ú
a 'mn úú
û
このように、 j 列で (i, j )成分以外を０にできる。
この一連の操作を j 列の (i, j ) 成分による掃きだしという。
45
例
é1 1 0ù
ê
ú
ê
ú
A
=
1
0
1
ê
ú の逆行列を求めよ。 １行目の掃きだし
行列
ê
ú
ê0 1 1ú
終了
êë
úû
解
é1 1 0 1 0 0ù
ê
ú
ê
ú
ê1 0 1 0 1 0ú
ê
ú
ê0 1 1 0 0 1ú
êë
ú
û
T (2)- 1´ (1)
é1 1 0 1 0 0ù
ê
ú
ê
ú
ê0 1 - 1 1 - 1 0ú
ê
ú
ê0 1 1 0 0 1ú
êë
ú
û
T (1)- 1´ (2)
é1 1 0 1 0 0ù
ê
ú
ê
ú
ê0 - 1 1 - 1 1 0ú
ê
ú
ê0 1 1 0 0 1ú
êë
ú
û
é1 0 1 0 1 0ù
ê
ú
ê
ú
ê0 1 - 1 1 - 1 0ú
ê
ú
ê0 1 1 0 0 1ú
êë
ú
û
T - 1´ (2)
é1 0 1 0
1 0ù
ê
ú
ê
ú
ê0 1 - 1 1 - 1 0ú
ê
ú
ê0 0 2 - 1 1 1ú
êë
ú
û
T (3)- 1´ (2)
46
é
ê
ê1 0 1 0
1
ê
ê
ê0 1 - 1 1 - 1
ê
ê
1 1
ê0 0 1 êê
2 2
ë
T1
ù
ú
0ú
ú
ú
0ú
ú
1ú
ú
2ú
ú
û
é
ê
ê1
ê
ê
ê0
ê
ê
ê
ê0
ê
êë
0
1 0
1
0
0
1
1
1
2
2
1 1
1 2 2
T (2)+ 1´ (3)
´ (3)
2
よって、
A- 1
ù
ú
0ú
ú
1ú
ú
2ú
ú
1ú
ú
2ú
ú
û
é
ê1
ê
ê
ê
ê0
ê
ê
ê
ê0
ê
êë
0
1
0
ù
1
1
1
ú
0
- ú
2
2
2ú
1
1 1 ú
ú
0
2
2 2 ú
ú
1 1
1 ú
ú
1- 2 2
2 ú
ú
û
T (1)- 1´ (3)
é1
1
1ù
- ú
ê
2
2ú
ê2
ê1
ú
1
1
ú
= êê
ú
2
2
2
ê
ú
ê 1 1
ú
1
êú
êë 2 2
2 úû
この計算手順に従えば、一般のｎ次の正則行列に対する
逆行列を求めることができる。
47
練習
次の行列の逆行列を求めよ。
é1
ù
2
1
ê
ú
ê
ú
ê- 1 - 1 2 ú
ê
ú
ê2 - 1 1 ú
êë
úû
48
行列の基本変形の応用２
（行列の階数（rank)）
49
連立方程式と階数
例
(2) = 2 ´ (1)
ìï 3x + 2y = 4 L (1)
ïï
(4) = 3 ´ (3)
ïï 6x + 4y = 8 L (2)
ï
í
ïï 5x + 3y = 3 L (3)
の関係に注目する。
ïï
ïï 15x + 9y = 9 L (4)
ïî
4本の方程式があるが、意味のある方程式は２本である。
このようなとき、連立方程式中に意味のある方程式の本数
を調べたい。
é3
ê
ê6
ê
ê
ê5
ê
ê15
êë
2ù
ú
4úúéx ù
úêêy úú=
3úë û
ú
9úú
û
é4ù
êú
ê8ú
êú
êú
ê3ú
êú
ê9ú
êë úû
50
例２
ìï 2x - x + 3x + x
2
3
4
ïï 1
ï
í x 1 + x 2 - 2x 3 + 3x 4
ïï
ïï 4x 1 + x 2 - x 3 + 7x 4
ïî
= 2
（１）
= 1
（２）
= 4
（3）
このような方程式においても、
(3) (1) (2) 2 と表せるので、
本質的な方程式の本数は２本である。
é2 - 1 3 1ùéêx 1 ù
ê
úêx ú
ê
úê 2 ú
=
ê1 1 - 2 3úêx ú
ú
ê
úê 3 ú
ê4 1 - 1 7 úêx ú
êë
ú
ûêë 4 ú
û
é2ù
êú
êú
ê1ú
êú
ê4ú
êë ú
û
51
一般的に、
ìï a11x 1 + a12x 2 + L + a1n x n
= b1
ïï
ïï a x + a x + L + a x
= b2
22 2
2n n
ï 21 1
í
ïï
M
ïï
ïï am 1x 1 + am 2x 2 + L + amn x n = bm
î
のような連立方程式では、その係数行列に本質的な方程式の本数
が隠れている。
éb1 ù
éa11 a12 L a1n ù
ê
úéx 1 ù ê ú
êa 21 O
Múê ú êêb2 ú
ú
ê
úê Mú=
ê
úê ú ê Mú
êM
úê ú ê ú
ê ú
ê
úêëx n ú
û êb ú
amn ú
êêëam 1 L
ú
û
êë m ú
û
係数行列
52
éa11 a12 L
ê
êa 21 O
ê
ê
êM
ê
êêëam 1 L
a1n ù
úéx 1 ù
Múê ú
úê Mú=
úê ú
úê ú
úêëx n ú
û
amn ú
ú
û
éb1 ù
ê ú
êb ú
ê2ú
ê ú
ê Mú
ê ú
êbm ú
êë ú
û
係数行列
連立方程式の本質的な本数は、
係数行列の階数（ランク、rank）と等しい。
係数行列の階数を求めるためには、
係数行列を行基本変形することで、
階段行列に変形することで調べることができる。
53
階段行列
定義（階段行列）
次のような形の行列を階段行列とよぶ。
0
0
0
0 a1 j1
0
0
a1 j '1
0
a2 j2
a2 j '2
0
0
arjr
0
0
0
arj 'r
0
54
階段行列のイメージ
値
値
O
注意：
（１）全ての行で、値のある列数は異なる。
（２）行ごとに２列以上の違いがあってもよい。
55
階段行列の例
1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 0 0
1
0
0
0
2 3 1 4
1 9 7 1
0 0 49 10
0 0 0
0
0 2 3 4
2 1 2 3
0 0 0 0
1
0
0
0
2 3 1 4
1 9 7 1
3 56 49 10
0 0 0
0
56
練習
次の行列が階段行列であるか答えよ。
（１）
（３）
0
0
0
0
1
0
0
0
0 3 1 3
0 9 3 1
0 0 3 9
0 0 0 0
0 3 7 3
0 2 3 2
0 0 0 9
0 0 0 0
（２）
1
0
（４）
0
0
0
0
0
0
0 1 0 0
0 0 3 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 3 1 3
0 9 3 1
3 1 49 9
0 0 0 0
57
行基本変形と階段行列
（行列の階段行列化）
任意の行列 A = [a 1 L a n ] は、
有限回の行基本変形だけを行うことにより、
階段行列に変形できる。
証明
次のような手順を踏めばよい。
（１）第１列から順に、0 ベクトルでない列 a j1 探す。
（２） A の行を入れ替えて、 (1, j1 ) 成分が0で無いようにする。
（３）第１行に適当なスカラーを掛けて、(1, j 1 ) 成分を１にする。
（４） 2 £ i £ m に対して、 (1, j 1 ) 成分で掃き出して、
(i, j1 ) 成分をすべて0 にする。
58
同様に、
（１）第 j 1 + 1列から順に、2行目以降が 0 でない列ベクトル
を探す。
a j2
（２） 行を（ 2 : m 行で）入れ替えて、(2, j 2 )成分が0で無いようにする。
（３）第2行に適当なスカラーを掛けて、 (2, j 2 ) 成分を１にする。
（４） 3 £ i £ m に対して、 (2, j 2 ) 成分で掃き出して、
(i, j 2 ) 成分をすべて0にする。
以下,同様に行なえば、階段行列にできる。
QED
59
例１
1 2 3 4
A 5 6 7 8
9 10 11 12
を階段行列に変形せよ。
基本変形には
「＝」と書かな
いこと。
解）
1 2 3 4
5 6 7 8 T
9 10 11 12
T
1
- ´ ( 2)
4
(2)- 5´ (1)
4
1 2 3
0 4 8 12
9 10 11 12
3
4
1 2
0 1
2
3
0 8 16 24
T ( 3)- 8´ ( 2)
T
(2)- 9´ (1)
3
4
1 2
0 4 8 12
0 8 16 24
1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 0 0
60
例２
解）
1
2
1
4
1
2
B
1
4
3
1
4
1 4
2 5
1 1
2 14 3 12
2
3
5
1 2
0 7
0 0
0 6
T
1 4
2 5
1 1
2 14 3 12
2
3
5
(3)+ 6´ (2)
3
1
4
3 1
7 0
0 0
(1,1)による掃出し
T
4
4
3
0
を階段行列に変形せよ。
(2)+ 1´ (4)
2
7
1
0
0
0
2 3 1 4
1 9 7 1
0 56 49 10
0 0 0
0
1 2
0 1
0 0
0 6
1 2
0 7
0 7
0 6
3 1 4
T
9 7 1
0 0 0
2 7 4
3 1
7 0
7 0
2
(3)« (4)
7
T
4
4
3
3
1 2
0 1
0 6
0 0
(3)- 1´ (2)
3 1 4
9 7 1
2 7 4
0 0 0
61
練習
次の行列を階段行列にせよ。
（１）
1 2 1 4
2 4 3 5
1 2 6 7
（２）
1
2
3
4
2 3 4 5
3 4 5 6
4 5 6 7
5 6 7 8
62
階数（rank)
定義（行列の階数）
s
A
r
行列 A を行基本変形で階段行列
に変形したとき、
階段行列 A s の段数を、元の行列 A の階数といい、
と表す。
rank(A )
変形途中で現れる全ての行列は、
同じ階数を持つ。
63
練習
次の行列の階数を求めよ。
（１）
é8 - 1 5 - 8ù
êë
ú
û
(3)
（2）
é1
ê
ê1
ê
ê
ê1
ê
ê1
ê
ë
1 1ù
ú
1 1ú
ú
ú
1 1ú
ú
1 1ú
ú
û
é1
ê
ê
ê2
ê
ê- 1
ê
ë
2
- 1
4
3
- 2
6
4 ù
ú
ú
5 ú
ú
- 7ú
ú
û
64
階数の性質１
定理（階数と転置）
行列 A の階数は、転置しても変わらない。
すなわち、
t
rank(A ) = rank( A )
定理（階数と行数、列数の関係）
行列 A を m ´ n
行列とするとき、
rank(A ) £ min{m , n }
65
例
1 2 3 4
A 5 6 7 8
9 10 11 12
1
2
t
A
3
4
1
1
1
0
1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 0 0
5 9
6 10
7 11
8 12
5 9
1 1
1 1
0 0
1
2
3
1
1
1
0
0
5 9
6 10
7 11
1 1
5 9
1 1
0 0
0 0
1
2
1
1
1
0
0
0
5 9
6 10
1 1
1 1
1
1
1
1
5 9
1 1
1 1
1 1
5 9
4 8
0 0
0 0
66
階数の性質２
定理（階数と正則行列の積）
行列 A の階数は、正則行列を掛けてもかわらない。
すなわち、 B ,C を積の定義できる正則行列すると、
次式が成り立つ。
（１）
rank(B A ) = rank(A )
（２）
rank(A C ) = rank(A )
（３） rank(B A C ) = rank(A )
A自身は正則行列でなくてもかまわない
A
ことに注意する。さらに、
は正方行列
でなくてもかまわない。
67
階数の性質３
定理（行列の積と階数）
行列 A と行列 B の積では、階数は変わらないか、
あるいは減少する。
すなわち、
（１） rank(A B ) £ rank(A )
これは、次のようにも記述できる。
（２） rank(A B ) £ min{rank(A ), rank(B )}
68
階数の性質４
定理（階数と正則行列）
n 次の正方行列 A
が正則行列であるための
必要十分条件は、
rank(A ) = n
である。
これまでの、性質は正方行列以外でも成り立つ。
この性質だけ、正方行列と階数の関係を示して
いる。
69
© Copyright 2025 ExpyDoc
