3. Übung

Himmelsmechanik
Sommersemester 2016, Prof. Spahn
Übungsblatt 3 (10 Punkte)
Ausgabe: 3. Mai 2016
Abgabe: 9. Mai 2016
Aufgabe 3.1 – Rotationsabplattung
(7 Punkte)
Für Teilchen, weit weg von irgendwelchen Massen, macht man die Außenraumnäherung r0 /r 1. Himmelskörper sind meist näherungsweise kugelsymmetrisch und
man beschreibt sie am besten mit Kugelkoordinaten. Das Potential, entwickelt
nach Legendre-Polynomen Pj (x), schreibt sich dann
φ(~r) =
∞
X
φl (~r)
φl (~r) = −
mit
l=0
Z
γ
rl+1
d3 r0 r0l ρ(~r0 ) Pl cos ^(~r, ~r0 )
Mit dem Additionstheorem der Kugelflächenfunktionen Ylm (θ, ϕ) folgt
φl (~r) = −γ
l
X
r
m=−l
wobei
r
qlm =
4π
2l + 1
Z
qlm
4π
Ylm (θ, ϕ) l+1
2l + 1
r
∗
d3 r0 r0l ρ(~r0 ) Ylm
(θ0 , ϕ0 )
(a) Berechnen Sie φ(~r) bis einschließlich 2. Ordnung für einen homogenen Rotationsellipsoiden mit Halbachsen a, a, b. Finden Sie J2 .
Hinweis: Legen Sie die Hauptachse b auf die z-Achse“ und nutzen Sie die
”
Symmetrien des Problems aus.
(b) Berechnen Sie J2 mit der von Ihnen gefundenen Beziehung aus (a) für Jupiter
und Saturn und vergleichen Sie ihre Ergebnisse mit den gemessenen Werten.
Aufgabe 3.2 – Das dritte Keplersche Gesetz
(3 Punkte)
(a) Zeigen Sie, dass
a3Planet
GMSonne
=
2
4π 2
TPlanet
MPlanet
1+
MSonne
gilt, wobei aPlanet , TPlanet und MPlanet die große Halbachse, die Umlaufzeit
und die Masse eines Planeten sind, der eine Sonne mit der Masse MSonne auf
einer Kepler-Ellipse umläuft.
(b) Demzufolge gilt das dritte Keplersche Gesetz überhaupt nicht. Warum?
Warum hat Kepler dies in seinen Daten nicht gesehen?
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