Theoretische Mechanik 12. Übungsblatt Aufgabe 1. Leiten Sie die Euler-Lagrange Gleichungen aus den Hamilton-Gleichungen her! Hinweis: Beginnen Sie mit der Hamiltonfunktion H(p, q, t), berechnen Sie dH und benutzen Sie dann die kanonischen Gleichungen! Aufgabe 2. Ein Massenpunkt bewege sich im homogenen Schwerefeld der Erde auf einem Trichter (auf der Wand eines auf den Kopf gestellten hohlen Kreiskegels). Stellen Sie die Lagrangefunktion des Punktes auf! Bestimmen Sie die Hamilton-Funktion und stellen Sie die kanonischen Gleichungen auf! Welche Erhaltungssätze gelten? Aufgabe 3. Ein Massenpunkt kann sich reibungsfrei längs einer Stange bewegen. Die Stange dreht sich in der horizontalen Ebene mit der Winkelgeschwindigkeit ω. Stellen Sie die Lagrangefunktion, die Hamiltonfunktion und die hamiltonschen Gleichungen des Punktes auf! Bestimmen Sie die Bewegung des Massenpunktes aus den hamiltonschen Gleichungen! Ist H eine Erhaltungsgröße? Ist H gleich der Energie des Massenpunkts? Ist die Energie erhalten? Aufgabe 4. Beweisen Sie die Jakobi-Identität für die Poisson-Klammern. Hinweis: Sammeln Sie alle Terme mit den zweifachen Ableitungen von jeder Funktion und zeigen, dass sich diese paarweise wegheben. Beweisen Sie, dass die aus zwei Bewegungsintegralen gebildeten Poisson-Klammern wiederum ein Bewegungsintegral darstellen. 1
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