Blatt 07 - Fakultät für Mathematik

TU Dortmund
Fakultät für Mathematik
Lehrstuhl IV
Markov-Prozesse
SS 2015, Blatt 7
Prof. Dr. M. Voit / Dr. S. Mentemeier
Themen: Direkte Produkte von Markov-Kernen, G-invariante Markov-Kerne,
regulär bedingte Verteilung, Beispiele
Abgabetermin: Dienstag, 26. Mai 2015, 10:00 Uhr
Aufgabe 25
3 Punkte
Widerlegen Sie folgende Behauptung durch ein Beispiel:
Ist (Xn )n∈N0 eine zeitlich homogene Markov-Kette auf einem endlichen Zustandsraum E, so gilt für alle l < m < n ∈ N0 , a, b ∈ E und alle A ⊂ E
P (Xn = b | Xm ∈ A, Xl = a) = P (Xn = b | Xm ∈ A).
Tipp: Betrachten Sie z.B. folgenden Übergangsgraphen:
1
1
1
Aufgabe 26
1
2
1/2
3
1/2
4
1
5
3 Punkte
Seien X und Y N0 -wertige Zufallsvariablen. Bezeichne f (x, y) = P (X = x, Y = y)
die Zähldichte von P(X,Y ) .
Bestimmen Sie einen Markovkern K auf N0 , so dass
P(X,Y ) = PX ⊗ K.
Hierbei soll K mit Hilfe der Funktion f ausgedrückt werden.
Aufgabe 27
4 Punkte
Für d > 1 sei G eine abgeschlossene Untergruppe der (metrischen) Gruppe SO(d),
diese operiert stetig auf Rd . Ein Markovkern auf Rd heißt G-invariant, falls gilt:
K(g(x), g(A)) = K(x, A)
∀ g ∈ G, ∀ x ∈ Rd , A ∈ B d .
(a) Es seien K1 , K2 G-invariante Markovkerne auf Rd . Zeigen Sie, dass dann auch
der Markovkern K1 ◦ K2 G-invariant ist.
(b) Sei (µt )t≥0 ⊂ M 1 (Rd ) eine stetige Faltungshalbgruppe, so dass jedes µt , t ≥ 0
G-invariant ist, d.h. µt (g −1 A) = µt (A) für alle g ∈ G und A ∈ B d . Zeigen Sie,
dass dann die mittels
Kµt (x, A) := (µt ∗ δx )(A)
definierten Markovkerne G-invariant sind.
Aufgabe 28
5 Punkte
Für i = 1, . . . , N betrachte man Markovkerne Ki auf den Zustandsräumen (Ei , Bi )
sowie assoziierte zeithomogene Markov-Prozesse (Xni )n≥0 mit Startverteilungen
µi ∈ M 1 (Ei , Bi ).
(a) Zeigen Sie, dass
(K1 × · · · × KN ) (x1 , . . . , xN ), A1 × · · · × AN
:=
N
Y
Ki (xi , Ai )
i=1
für xi ∈ Ei , Ai ∈ Bi , i = 1, . . . , N , eindeutig einen Markovkern K := K1 ×
· · · × KN auf E := E1 × · · · × EN definiert.
Tipp: Zum Nachweis der Meßbarkeitseigenschaft nutze man, dass
D := A ∈ B1 ⊗ · · · ⊗ BN : x 7→ K(x, A) ist messbar
ein Dynkin-System ist.
(b) Es seien die Prozesse (Xni )n≥0 , 1 ≤ i ≤ N zusätzlich stochastisch unabhängig.
Zeigen Sie, dass (Xn := (Xn1 , . . . , XnN ))n≥0 ein zeithomogener Markov-Prozess
auf E mit Übergangskern K ist. Welche Startverteilung hat dieser Prozess?
(c) Drücken Sie K ◦ K mit Hilfe von K1 , . . . , KN aus.
(d) Formulieren Sie eine zu (b) analoge Aussage für zeithomogene, unabhängige Markov-Prozesse (Xt1 )t≥0 , . . . , (XtN )t≥0 in stetiger Zeit. Geben Sie insbesondere an, wie der gemeinsame Übergangskern definiert werden kann (ohne
Beweis).
Aufgabe 29
5 Punkte
Ein Warteschlangenmodell mit N Kunden.
Es seien λ, µ > 0 Parameter mit λ/N ≤ µ. Betrachte voneinander unabhängige,
identisch verteilte Markov-Prozesse (Yni )n≥0 , 1 ≤ i ≤ N mit Start im Zustand
Warten und Übergangsgraphen
1- Nλµ
Warten
λ
Nµ
Im System
Fertig
1
1
Ferner seien (Nti )t≥0 Poisson-Prozesse mit Parameter µ, die voneinander und von
den (Yni )n≥0 unabhängig seien. Definiere (Xti )t≥0 := (YNi i )t≥0 .
t
(a) Bestimmen Sie P (Xti = im System“) sowie für 0 ≤ k ≤ N
”
pt,N (k) := P |{i : Xti = im System“}| = k .
”
(b) Bestimmen Sie, für festes k und t, den Grenzwert limN →∞ pt,N (k).
2

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