Minkowski-Wegelement und Eigenzeit Invariantes Wegelement

Minkowski-Wegelement und Eigenzeit
immer
Invariantes Wegelement
entlang einer Bahnkurve
einesTeilchens im IS A:
"Instantan mitlaufendes" Inertialsystem B' sei so gewählt,
dass es zum Zeitpunkt t dieselbe Geschwindigkeit habe,
sodass Teilchen instantan (d.h. zum Zeitpunkt t) in B' ruht.
Dann gilt
denn
stimmt mit dem Zeitintervall dt' der "mitgeführten" Uhr überein, und definiert die
"Eigenzeit" des Teilchens. Sie ist aus Sicht jedes beliebigen ISs gleich (weil
invariant ist)
Folglich ist die Eigenzeit invariant.
Eigenzeit für ein beliebig bewegtes Punktteilchen
P und Q seien Ereignisse auf einer Weltlinie, die
im Inertialsystem A durch die Bahnkurve
mit Geschwindigkeit
beschrieben wird.
Eigenzeit zwischen P und Q:
B' sei ein IS das derjenigen Weltlinie folgt, die P und Q in gleichförmiger Bewegung verbindet.
Aus Sicht von A folgt B' Bahn mit
. Die Eigenzeitdifferenz von B ist also
Jede andere Weltlinie von P nach Q hat eine kleinere Eigenzeitdifferenz!
[Für Weltlinie entlang Photonbahnen (mit
) ist Eigenzeitdifferenz sogar = 0).]
(2) impliziert "Zwillingsparadox": Raumfahrer kehrt jünger(!) zur Erde zurück als ein daheim
gebliebener Zwilling. Wie kann das sein? Grund: Seine Bahn ist gekrümmt, d.h. er wird unterwegs
beschleunigt, und laut allgemeiner Relativitätstheorie gehen beschleunigte Uhren langsamer.
Viererformalismus (Barthelmann et al., "Theoretische Physik, Kapitel 9, 10)
Wir wählen für alle IS den Koordinatenursprung gleich.
Das Ereignis P, beschrieben durch den "physikalischen
Vierervektor"
, hat in unterschiedlichen IS
unterschiedliche Koordinaten, weil die Basisvektoren
unterschiedlich sind.
In S:
Koordinaten
Konvention: immer
ein Index oben,
anderer Index unten!
Basisvektoren
In S':
Lorentz-Transformation für Koordinaten:
(1) = (2):
(Indizes umbenennen)
Lorentz-Transformation für Basisvektoren:
Poincare-Transformation
Poincare-Gruppe = ( Lorentz-Gruppe ) U (Translationsgruppe)
Verschiebung von Zeitnullpunkt
und/oder räumlichem Ursprung
Poincare-Transformation:
Für Koordinatendifferenzen und Koordinatendifferenziale gilt weiterhin:
Definition eines allgemeinen Vierervektors:
ist ein Vierervektor mit "kontravarianten Komponenten"
wenn letztere bei der Lorentz-Transformation (43.3) wie folgt transformieren:
(also "wie
"kontravariant" = "entgegengesetzt zu den Basisvektoren" (damit
Beispiele: Geschwindigkeit
, Impuls
, Beschleunigung
")
invariant bleibt)
, Kraft
Man spricht oft von "Lorentz-kovarianten Vierervektoren". Das Attribut "Lorentz-kovariant"
bedeutet dabei lediglich, dass sich alle Vierergrößen entsprechend ihrer Indexstruktur
transformieren, denn die
sind eigentlich kontravariante Komponenten
Minkowski-Metrik
Invariantes Wegelement definiert eine metrische Fundamentalform des Minkowski-Raumes:
"MinkowskiMetrik":
Die Inverse der
Minkowski-Metrik
ist definiert durch:
für
für
Inverse:
[Achtung: für krummlinige Koordinaten sind die Matrixelemente von
und
Eigenschaften der Lorentz-Transformation
(Indizes umbenennen)
Invarianz des
Wegelements:
Definierende Eigenschaft
von Lorentz-Transformationen:
(2) = (1)
Bestimmung der inversen
Lorentz-Transformation:
Inverse Transformation:
verschieden!]
Kovariante Komponenten, duale Basisvektoren
Def: "kovariante Komponenten":
"Index runterziehen"
Inverse Relation:
"Index hochziehen"
Definition: "duale Basisvektoren":
"Index hochziehen"
Inverse Relation:
"Index runterziehen"
Äquivalente Darstellungen
von physikalischem
Vierervektor:
mittels kontravarianten
mittels kovarianten
Komponenten
Invariantes
Intervall:
Komponenten
(Indexziehen)
Transformationseigenschaften von kovarianten Komponenten
Somit folgt aus (1):
gleiche Form!
Vergleiche (43.5):
Also transformiert
wie ein Basisvektor
(deswegen die Bezeichnung "kovariant")
Iindexziehen für
inverse Transformation:
(Indexziehen)
(46.4):
Lorentz-invariantes Skalarprodukt
Definition: Skalarprodukt für die Basisvektoren:
Daraus ergibt sich ein Lorentz-invariantes Skalarprodukt für beliebige Vierervektoren:
(Indexziehen)
invariant, denn:
ist also ein
"Lorentz-Skalar"
Vierertensoren höherer Ordnung
Jeder Index hat wohldefinierte Transformationseigenschaften: z.B. für Tensoren 2. Stufe
Beispiel: Minkowski-Metrik ist ein "invarianter Tensor" zweiter Stufe:
Einsteins 1. Postulat, "alle physikalischen Phänomene laufen in allen IS gleich ab, impliziert:
Eine relativistischen Theorie muss sich vollständig mittels Lorentz-Tensoren formulieren lassen!
Lorentz-invariantes Skalarprodukt
Definition: Skalarprodukt
für die Basisvektoren:
Daraus ergibt sich ein Lorentz-invariantes Skalarprodukt für beliebige Vierervektoren:
invariant, denn:
Vierertensoren höhrerer Ordnung
Jeder Index hat wohldefinierte Transformationseigenschaften: z.B. für Tensoren 2. Stufe
Beispiel: Minkowski-Metrik ist ein "invarianter Tensor" zweiter Stufe:
Eine relativistischen Theorie muss sich vollständig mittels Lorentz-Tensoren formulieren lassen.
Vierergeschwindigkeit und -beschleunigung
parametrisiert durch die Koordinatenzeit
Weltlinie eines Teilchens
sei beschrieben durch
Geschwindigkeit:
Vierergeschwindigkeit ?
wäre kein Lorentz-kovarianter Vierervektor, weil t nicht-trivial transformiert
Lorentz-kovariante
Vierergeschwindigkeit wird
mittels Eigenzeit definiert:
Lorentz-Skalar:
in der Tat invariant!
Viererbeschleunigung:
Orthogonalität von VierierGeschwindigkeit und Beschleunigung:
Relativistische Mechanik
Ruhemasse, Viererimpuls
"Ruhemasse" eines Punktteilchens = seine Masse in einem IS, in dem es ruht.
Ruhemasse ist per Definition eine invariante Größe, d.h. ein Lorentz-Skalar.
Lorentz-kovarianter Viererimpuls:
= Ruhemasse x Vierergeschwindigkeit
"Relativistischer Dreierimpuls":
"Relativistische Masse":
Lorentz-Skalar:
Nullkomponente des
Viererimpulses:
[positives Vorzeichen,
zwecks Konsistenz mit (2)]
Viererkraft
Lorentz-invariante
Viererkraft:
Es gilt
Dreierkraft:
mit relativistischem
Dreierimpuls
Relativistische Impulserhaltung: in Abwesendheit v. externen Kräften gilt
Für Punktteilchen mit
zeitunabhängiger Masse:
(4) ist die relativistische Version von Newton's 2. Gesetz. Es führt zu folgendem Ausdruck
für die räumlichen Komponenten der Kraft (kann gezeigt werden...):
Relativistische Trägheitskraft zeigt somit nicht notwendigerweise in Richtung von
Relativistische Energie
(50.7):
Daraus lässt sich Bedeutung von
ablesen:
geleistet wird.
von der Kraft
Wurde ein anfänglich freies Teilchen eine Zeit
lang durch äußere Kräfte beschleunigt, dann
hat sich
um die geleistete Arbeit verändert, und wird deshalb als "Energie" interpretier
= Arbeit, die bei infinitesimaler Verschiebung
mit "relativistischer Energie":
Für ruhendes Teilchen gilt:
(Einstein's berühmte Formel)
"Äquivalenz von Masse und Energie"
Relativistische Energie-Impuls-Beziehung
Wir wissen bereits:
Relativistische
Energie-ImpulsBeziehung:
Taylor-Entwicklung:
RuheEnergie
Photonen:
dann muss
kinetische
Energie
relativistische
Korrektur
sein, ansonsten wäre
Stattdessen:
Zusammenfassung: Relativistische Mechanik
Relativistische Masse:
Relativistische Energie:
Relativistischer Impuls:
Energie-Impuls Vierervektor,
und Zeit-Ort Vierervektor,
haben dieselben Lorentz-Transformationseigenschaften:
Energie- und Impulserhaltungssätze sind Lorentz-invariant
Im Limes
Relativistische Dispersion:
Für Photonen:

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