Übungsblatt 9 - Fakultät für Mathematik

Fakultät für Mathematik
Institut für Algebra und Geometrie
Wintersemester 2016/17
Prof. Dr. Enrico Leuzinger
M. Sc. Moritz Gruber
Lineare Algebra und Analytische Geometrie I
Übungsblatt 9
Aufgabe 1
(P)
Seien U1 , U2 Untervektorräume des R4 definiert als
     
3
3
2
h 2   3   1 i
    
U1 := 
U2 :=
 2 , 2 , 2  ,
1
1
1

 
1
2
h 0   3
 ,
 4   2
0
3
 

1
  2 i
,  .
  0 
2
Bestimmen Sie zu U1 , U2 , U1 ∩ U2 , U1 + U2 je eine Basis und die Dimension. Bestimmen Sie außerdem einen Untervektorraum W des R4 , sodass U1 ⊕ W = R4 .
Aufgabe 2
(P)
Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
a) Für A, B ∈ R2×2 ist
U := { X ∈ R2×2 | AX = XB}
ein Untervektorraum von R2×2 .
b) Sind speziell
A=
a1 0
a3 a4
und B =
b1 b2
0 b4
,
so gilt für den Untervektorraum U aus Teil (a)
U = {0} ⇐⇒ { a1 , a4 } ∩ {b1 , b4 } = ∅.
Aufgabe 3
Eine Matrix A ∈ Cn×n heißt symmetrisch, wenn A = A> gilt.
Eine Matrix heißt schiefsymmetrisch oder alternierend, wenn A = − A> gilt.
Zeigen Sie:
a) Die Menge Symn (C) der symmetrischen Matrizen bildet einen Untervektorraum von Cn×n .
b) Die Menge Altn (C) der schiefsymmetrischen Matrizen bildet einen Untervektorraum von Cn×n .
c) Für A ∈ Cn×n ist A + A> symmetrisch.
d) Für A ∈ Cn×n ist A − A> schiefsymmetrisch.
e) Jede Matrix A ∈ Cn×n lässt sich in einen symmetrischen und einen schiefsymmetrischen Teil
zerlegen, d.h.
A = As + Aa
mit As ∈ Symn (C) und Aa ∈ Altn (C).
f) Es gilt
Cn×n = Symn (C) ⊕ Altn (C).
Abgabe der Lösungen bis zum 19.12.2016 um 12 Uhr in den entsprechenden gelben Briefkasten Ihres Tutoriums im Atrium des Kollegiengebäudes Mathematik (20.30). Bitte heften Sie Ihre Abgabe ordentlich
zusammen und vermerken Sie Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer auf jedem Blatt. Jede (P)-Aufgabe
wird mit maximal 6 Punkten bewertet.

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