Analysis mit MuPAD H. Dehling, P. Kubach Sei eine stetige reelle Funktion. Die Differentialform heißt exakt oder Pfaffsche Form, wenn es eine Stammfunktion gibt, sodass bzw. gilt. Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine (Integrations-) Konstante und wir schreiben Mit Hilfe einer speziellen Stammfunktion (der Integralfunktion von zur unteren Grenze ) erhalten wir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Bestimmte und unbestimmte Integrale berechnen wir mit int(f(x), x) bzw. int(f(x), x=a..b). Ist so berechnet das bestimmte Integral die Maßzahl der Fläche, die zwischen , der x-Achse und den Geraden und eingeschlossen wird. Andernfalls berechnet das Integral die Flächenbilanz der positiv und negativ orientierten Flächenanteile. (Tipp: www.mathe-online.at, Applet in der Galerie „Das Integral intuitiv verstehen“) Zur Berechnung von Stammfunktionen verwenden wir im Wesentlichen zwei Methoden: 1. Partielle Integration 2. Integration durch Substitution: Die Integrationsmethoden können in MuPAD angewandt werden. Dazu verwenden wir die Bibliothek intlib. Mit den folgenden Befehlen berechnet MuPAD ein symbolisches Integral, basierend auf obigen Integrationsmethoden. 1. intlib::byparts(hold(int)(f(x), x=a..b), u(x)) 2. intlib::changevar(hold(int)(f(x), x=a..b), t=g(x)) Rationale Funktionen können geschlossen mit der Partialbruchzerlegung integriert werden. Bei Rechnung von Hand empfiehlt sich das Horner-Schema. In MuPAD wird die Partialbruchzerlegung mit partfrac(f(x)) berechnet. Ausgegeben wird eine Funktion, die mit int(%,x) integriert werden kann. Die Punkte heißen mit Stützstellen, wobei heißen Unterteilung / Zerlegung von Die Punkte gilt. Dann heißt die auftretende Summe Riemann-Summe von bezgl. der Unterteilung und der Stützstellen . Ist integrierbar, dann kann das bestimmte Integral durch die Riemann-Summe beliebig gut approximiert werden. Die Bibliothek student enthält die Befehle riemann(f(x), x=a..b, n) und plotRiemann(f(x), x=a..b, n), mit der die Riemann-Summe berechnet und grafisch dargestellt werden kann. In der Bibliothek befinden sich weitere Befehle zur Berechnung und Darstellung von Trapez- und Simpson-Summen. Der Befehl plot::Integral erlaubt eine Animation der verschiedenen Methoden, informieren Sie sich dazu im MuPAD-Hilfesystem.