Blatt 7

Institut für Angewandte Mathematik
WS 2016/17
Prof. Dr. Anton Bovier,
Kaveh Bashiri
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie
7. Übungsblatt
Abgabe bis Freitag, den 09.12.2016, vor der Vorlesung
Aufgabe 1
[1 Pkt ]
Seien X1 , . . . , Xn unabhängig und exponentialverteilt mit Parameter α > 0. Bestimmen
Sie die Verteilung von min1≤i≤n Xi .
Aufgabe 2 (Gauss’sche partielle Integrationsformel)
Sei X eine zentrierte Gauss’sche Zufallsvariable mit Varianz σ 2 > 0:
2
2 /(2a)
1. Sei g ∈ C 1 (R) so, dass |g(x)|e−x /(2a) → 0 und |g 0 (x)|e−x
für ein a > Var(X). Beweisen Sie, dass
[3+4 Pkt ]
→ 0, wenn x → ±∞
E(Xg(X)) = Var(X)E(g 0 (X))
gilt.
Hinweis: Für eine messbare Funktion f und einer zentrierten Gauss’schen Zufallsvariable X mit Varianz σ 2 lässt sich der Erwartungswert berechnen als
Z
1
2
2
E(f (X)) = √
f (x)e−x /(2σ ) dx.
2πσ 2 R
2. Berechnen Sie E(X n ) für alle n ∈ N.
Aufgabe 3
[4 Pkt ]
Sei X eine positive Zufallsvariable (diskret oder kontinuierlich) auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P), und sei g : [0, ∞) → [0, ∞) bijektiv, stetig differenzierbar und streng
monoton wachsend mit g(0) = 0. Zeigen Sie, dass
Z ∞
E[g(X)] =
g 0 (x)P[X ≥ x]dx.
0
Hinweis: Es darf vorausgesetzt werden, dass Fubini-Tonelli auch für σ−endliche Maße gilt.
1
Aufgabe 4
[1+4 Pkt ]
Sei p ∈ (0, 1)Pund seien (Xi )i i.i.d. Zufallsvariablen mit P(Xi = 1) = p = 1 − P(Xi = −1).
Es sei Sn = ni=1 Xi und K(n) = K(0) + Sn . Wir definieren
h(x) = P inf{n : K(n) = 0} < inf{n : K(n) = 100}K(0) = x ,
für x ∈ {1, . . . , 98, 99}, h(0) = 1 und h(100) = 0.
1. Zeigen Sie, dass
h(x) = ph(x + 1) + (1 − p)h(x − 1),
x ∈ {1, . . . , 99},
2. Berechnen Sie h(x).
Tipp zu Punkt 2: Leiten Sie eine rekursive Gleichung für g(x) := h(x + 1) − h(x) her!
Aufgabe 5
Die Dichte der Cauchy Verteilung mit Parameter u > 0 ist gegeben durch
cu (x) =
π(u2
u
,
+ x2 )
[3 Pkt ]
x ∈ R.
Es seien X1 , . . . , Xn unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Dichte cu .
Zeigen Sie, dass die Zufallsvariable (X1 + · · · + Xn )/n dieselbe Dichte hat.
Hinweis: Sie können ohne Beweis verwenden, dass für a, b > 0 und x ∈ R
Z
π(a + b)
dy
=
.
(1)
2
2
2
2
ab (x2 + (a + b)2 )
R (y + a )((y − x) + b )
gilt.
2

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