Sommersemester 2015 GU Frankfurt Prof. Dr. Esther Cabezas-Rivas ¨ Analysis 2 β Ubungsblatt 4 (Abgabe: 11.05.2015) ====================================================== 1. Sei π¦(π ) die Menge der nicht-leeren kompakten Teilmengen eines vollst¨andigen metrischen Raumes (π, π). Deο¬niere f¨ ur π΄, π΅ β π¦(π ), π β π΄ π(π, π΅) := inf{π(π, π¦) : π¦ β π΅} π(π΄, π΅) := sup{π(π₯, π΅) : π₯ β π΄} β(π΄, π΅) := sup{π(π΄, π΅), π(π΅, π΄)}. Seien π₯ β π und π΄, π΅, πΆ β π¦(π ). Zeigen Sie: (a) π(π₯, π΄) = 0 β π₯ β π΄. (b) π(π΄, π΅) = 0 β π΄ β π΅. (c) Es gibt ein ππ₯ β π΄, sodass gilt: π(π₯, π΄) = π(π₯, ππ₯ ). (d) π(π΄, π΅) β€ π(π΄, πΆ) + π(πΆ, π΅). (e) (π¦(π ), β) ist ein metrischer Raum. [6 P] 2. (a) Sei (π, π) ein metrischer Raum und π· β π dicht in π . Wir nehmen an, dass jede Cauchy-Folge in π· gegen einen Punkt in π konvergiert. Zeigen Sie: (π, π) ist vollst¨andig. (b) Wir betrachten zwei Abstandsfuntionen deο¬niert durch πΌ, π½ : β × β β β, πΌ(π₯, π¦) := β£ arctan(π₯) β arctan(π¦)β£, π½(π₯, π¦) := β£π₯3 β π¦ 3 β£. Ist (β, πΌ) vollst¨ andig? Und (β, π½)? Ja/Nein mit Beweis/Beispiel. (c) Sei (π, β₯ β β₯) ein normierter Vektorraum. Beweisen Sie: (π, β₯ β β₯) ist ein Banachraum genau andig ist. dann, wenn π΅1 (0) vollst¨ [7 P] 3. Sei (π, π― ) ein topologischer Raum. (a) πͺ β π ist oο¬en, genau dann, wenn Folgendes gilt: zu jedem π β πͺ ein π β π― existiert, sodass π β π β πͺ. (b) Man betrachte π × π mit der Produkttopologie, das heißt, π β π × π ist oο¬en β π = π × π , mit π, π β π― . Zeigen Sie: π ist ein Hausdorο¬-Raum genau dann, wenn π· := {(π₯, π₯) : π₯ β π } abgeschlossen (in π × π ) ist. (c) Nun nehmen wir an, dass π ein Hausdorο¬-Raum ist. Sei πΎ β π eine kompakte Teilmenge, und π₯ β π β πΎ. Beweisen Sie, dass man zwei disjunkte oο¬ene Mengen π und π , die π₯ und bzw. πΎ enthalten, ο¬nden kann. [5 P] 4. (Man betrachte) den metrischen Raum ((0, β), π), mit π(π₯, π¦) := β£ log(π₯/π¦)β£. Sei nun die Folge β π₯π := π₯πβ1 πββ mit π₯0 β (0, β) beliebig gew¨ahlt. Beweisen Sie, dass limπββ π₯π existiert. [2 P] 1
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