Blatt4

Sommersemester 2015
GU Frankfurt
Prof. Dr. Esther Cabezas-Rivas
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Analysis 2 – Ubungsblatt
4
(Abgabe: 11.05.2015)
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1. Sei 𝒦(𝑀 ) die Menge der nicht-leeren kompakten Teilmengen eines vollst¨andigen metrischen
Raumes (𝑀, 𝑑). Definiere f¨
ur 𝐴, 𝐡 ∈ 𝒦(𝑀 ), π‘Ž ∈ 𝐴
𝑑(π‘Ž, 𝐡) := inf{𝑑(π‘Ž, 𝑦) : 𝑦 ∈ 𝐡}
𝑑(𝐴, 𝐡) := sup{𝑑(π‘₯, 𝐡) : π‘₯ ∈ 𝐴}
β„Ž(𝐴, 𝐡) := sup{𝑑(𝐴, 𝐡), 𝑑(𝐡, 𝐴)}.
Seien π‘₯ ∈ 𝑀 und 𝐴, 𝐡, 𝐢 ∈ 𝒦(𝑀 ). Zeigen Sie:
(a) 𝑑(π‘₯, 𝐴) = 0 ⇔ π‘₯ ∈ 𝐴.
(b) 𝑑(𝐴, 𝐡) = 0 ⇔ 𝐴 βŠ‚ 𝐡.
(c) Es gibt ein π‘Žπ‘₯ ∈ 𝐴, sodass gilt: 𝑑(π‘₯, 𝐴) = 𝑑(π‘₯, π‘Žπ‘₯ ).
(d) 𝑑(𝐴, 𝐡) ≀ 𝑑(𝐴, 𝐢) + 𝑑(𝐢, 𝐡).
(e) (𝒦(𝑀 ), β„Ž) ist ein metrischer Raum.
[6 P]
2. (a) Sei (𝑀, 𝑑) ein metrischer Raum und 𝐷 βŠ‚ 𝑀 dicht in 𝑀 . Wir nehmen an, dass jede
Cauchy-Folge in 𝐷 gegen einen Punkt in 𝑀 konvergiert. Zeigen Sie: (𝑀, 𝑑) ist vollst¨andig.
(b) Wir betrachten zwei Abstandsfuntionen definiert durch
𝛼, 𝛽 : ℝ × β„ β†’ ℝ,
𝛼(π‘₯, 𝑦) := ∣ arctan(π‘₯) βˆ’ arctan(𝑦)∣,
𝛽(π‘₯, 𝑦) := ∣π‘₯3 βˆ’ 𝑦 3 ∣.
Ist (ℝ, 𝛼) vollst¨
andig? Und (ℝ, 𝛽)? Ja/Nein mit Beweis/Beispiel.
(c) Sei (𝑉, βˆ₯ β‹… βˆ₯) ein normierter Vektorraum. Beweisen Sie: (𝑉, βˆ₯ β‹… βˆ₯) ist ein Banachraum genau
andig ist.
dann, wenn 𝐡1 (0) vollst¨
[7 P]
3. Sei (𝑇, 𝒯 ) ein topologischer Raum.
(a) π’ͺ βŠ‚ 𝑇 ist offen, genau dann, wenn Folgendes gilt: zu jedem 𝑝 ∈ π’ͺ ein π‘ˆ ∈ 𝒯 existiert,
sodass 𝑝 ∈ π‘ˆ βŠ‚ π’ͺ.
(b) Man betrachte 𝑇 × π‘‡ mit der Produkttopologie, das heißt, 𝑁 βŠ‚ 𝑇 × π‘‡ ist offen ⇔
𝑁 = π‘ˆ × π‘‰ , mit π‘ˆ, 𝑉 ∈ 𝒯 . Zeigen Sie: 𝑇 ist ein Hausdorff-Raum genau dann, wenn
𝐷 := {(π‘₯, π‘₯) : π‘₯ ∈ 𝑇 } abgeschlossen (in 𝑇 × π‘‡ ) ist.
(c) Nun nehmen wir an, dass 𝑇 ein Hausdorff-Raum ist. Sei 𝐾 βŠ‚ 𝑇 eine kompakte Teilmenge,
und π‘₯ ∈ 𝑇 βˆ– 𝐾. Beweisen Sie, dass man zwei disjunkte offene Mengen π‘ˆ und 𝑉 , die π‘₯
und bzw. 𝐾 enthalten, finden kann.
[5 P]
4. (Man betrachte) den metrischen Raum ((0, ∞), 𝑑), mit 𝑑(π‘₯, 𝑦) := ∣ log(π‘₯/𝑦)∣. Sei nun die Folge
√
π‘₯𝑛 := π‘₯π‘›βˆ’1 π‘›βˆˆβ„• mit π‘₯0 ∈ (0, ∞) beliebig gew¨ahlt. Beweisen Sie, dass limπ‘›β†’βˆž π‘₯𝑛 existiert.
[2 P]
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