Blatt4

Sommersemester 2015
GU Frankfurt
Prof. Dr. Esther Cabezas-Rivas
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Analysis 2 – Ubungsblatt
4
(Abgabe: 11.05.2015)
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1. Sei 𝒦(𝑀 ) die Menge der nicht-leeren kompakten Teilmengen eines vollst¨andigen metrischen
Raumes (𝑀, 𝑑). Deﬁniere f¨
ur 𝐴, 𝐵 ∈ 𝒦(𝑀 ), 𝑎 ∈ 𝐴
𝑑(𝑎, 𝐵) := inf{𝑑(𝑎, 𝑦) : 𝑦 ∈ 𝐵}
𝑑(𝐴, 𝐵) := sup{𝑑(𝑥, 𝐵) : 𝑥 ∈ 𝐴}
ℎ(𝐴, 𝐵) := sup{𝑑(𝐴, 𝐵), 𝑑(𝐵, 𝐴)}.
Seien 𝑥 ∈ 𝑀 und 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 𝒦(𝑀 ). Zeigen Sie:
(a) 𝑑(𝑥, 𝐴) = 0 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴.
(b) 𝑑(𝐴, 𝐵) = 0 ⇔ 𝐴 ⊂ 𝐵.
(c) Es gibt ein 𝑎𝑥 ∈ 𝐴, sodass gilt: 𝑑(𝑥, 𝐴) = 𝑑(𝑥, 𝑎𝑥 ).
(d) 𝑑(𝐴, 𝐵) ≤ 𝑑(𝐴, 𝐶) + 𝑑(𝐶, 𝐵).
(e) (𝒦(𝑀 ), ℎ) ist ein metrischer Raum.
[6 P]
2. (a) Sei (𝑀, 𝑑) ein metrischer Raum und 𝐷 ⊂ 𝑀 dicht in 𝑀 . Wir nehmen an, dass jede
Cauchy-Folge in 𝐷 gegen einen Punkt in 𝑀 konvergiert. Zeigen Sie: (𝑀, 𝑑) ist vollst¨andig.
(b) Wir betrachten zwei Abstandsfuntionen deﬁniert durch
𝛼, 𝛽 : ℝ × ℝ → ℝ,
𝛼(𝑥, 𝑦) := ∣ arctan(𝑥) − arctan(𝑦)∣,
𝛽(𝑥, 𝑦) := ∣𝑥3 − 𝑦 3 ∣.
Ist (ℝ, 𝛼) vollst¨
andig? Und (ℝ, 𝛽)? Ja/Nein mit Beweis/Beispiel.
(c) Sei (𝑉, ∥ ⋅ ∥) ein normierter Vektorraum. Beweisen Sie: (𝑉, ∥ ⋅ ∥) ist ein Banachraum genau
andig ist.
dann, wenn 𝐵1 (0) vollst¨
[7 P]
3. Sei (𝑇, 𝒯 ) ein topologischer Raum.
(a) 𝒪 ⊂ 𝑇 ist oﬀen, genau dann, wenn Folgendes gilt: zu jedem 𝑝 ∈ 𝒪 ein 𝑈 ∈ 𝒯 existiert,
sodass 𝑝 ∈ 𝑈 ⊂ 𝒪.
(b) Man betrachte 𝑇 × 𝑇 mit der Produkttopologie, das heißt, 𝑁 ⊂ 𝑇 × 𝑇 ist oﬀen ⇔
𝑁 = 𝑈 × 𝑉 , mit 𝑈, 𝑉 ∈ 𝒯 . Zeigen Sie: 𝑇 ist ein Hausdorﬀ-Raum genau dann, wenn
𝐷 := {(𝑥, 𝑥) : 𝑥 ∈ 𝑇 } abgeschlossen (in 𝑇 × 𝑇 ) ist.
(c) Nun nehmen wir an, dass 𝑇 ein Hausdorﬀ-Raum ist. Sei 𝐾 ⊂ 𝑇 eine kompakte Teilmenge,
und 𝑥 ∈ 𝑇 ∖ 𝐾. Beweisen Sie, dass man zwei disjunkte oﬀene Mengen 𝑈 und 𝑉 , die 𝑥
und bzw. 𝐾 enthalten, ﬁnden kann.
[5 P]
4. (Man betrachte) den metrischen Raum ((0, ∞), 𝑑), mit 𝑑(𝑥, 𝑦) := ∣ log(𝑥/𝑦)∣. Sei nun die Folge
√
𝑥𝑛 := 𝑥𝑛−1 𝑛∈ℕ mit 𝑥0 ∈ (0, ∞) beliebig gew¨ahlt. Beweisen Sie, dass lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 existiert.
[2 P]
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