(G(H),⋆) := (H × H/ ∼,⋆). (a) (G(H)

Satz 3.8. Sei (H, ?) eine kommutative Halbgruppe mit Kürzungsregel, H 6= ∅. Setze
(G(H), ?) := (H × H/∼ , ?).
(a) (G(H), ?) ist eine kommutative Gruppe.
(b) Sei h0 ∈ H fest gewählt, dann ist
ι : (H, ?) → (G(H), ?) : a 7→ [a ? h0 , h0 ]
ein injektiver Homomorphismus.
Bemerkung 3.9. (b) besagt, dass man H als Teilmenge (genauer als Unterhalbgruppe)
von G(H) auffassen kann, wenn man H und ι(H) identifiziert.
Beweis.
• Assoziativität und Kommutativität folgen sofort aus der Assoziativität
und Kommutativität von H .
• neutrales Element: Sei h0 ∈ H , dann ist
[a, b] ? [h0 , h0 ] = [a ? h0 , b ? h0 ] = [a, b],
da a ? h0 ? b = b ? h0 ? a ist. Ähnlich folgt [a, b] = [h0 , h0 ] ? [a, b]. Also ist e = [h0 , h0 ]
das neutrale Element (und dieses Element muss dann unabhängig davon, welches h0 man gewählt hat, immer das gleiche sein!).
• Inverses Element: Es gilt [a, b] ? [b, a] = [a ? b, b ? a] = [a ? b, a ? b] = e.
ι ist Homomorphismus, denn
ι(h ? h0 ) = [h ? h0 ? h0 , h0 ] = [h ? h0 ? h0 , h0 ] ? [h0 , h0 ]
= [h ? h0 ? h0 ? h0 , h0 ? h0 ] = [h ? h0 , h0 ] ? [h0 ? h0 , h0 ]
= ι(h) ? ι(h0 )
Sei ι(h) = ι(h0 ), dann ist [h ? h0 , h0 ] = [h0 ? h0 , h0 ], also h ? h0 ? h0 = h0 ? h0 ? h0 .
Wegen der Kürzungsregel folgt h = h0 und ι ist injektiv.
Die Frage ist nun, wie eindeutig eine Gruppe G(H) ist, die H als Unterhalbgruppe enthält.
Schon im Beispiel H = N gibt es viele Gruppen, die N enthalten. Z. B. ist N in Z und Q enthalten. Teil (b) des nächsten Satzes besagt lax formuliert: ist G eine Gruppe, die eine Kopie
von H als Unterhalbgruppe enthält, dann enthält G auch eine Kopie von G(H) als Unterhalbgruppe. Will man also eine Gruppe konstruieren, die H als Unterhalbgruppe enthält,
und zwar, indem man möglichst wenig Elemente hinzufügt, dann landet man zwangsweise
bei G(H) (mit eventuell umbenannten Elementen). Das beantwortet die Anfangsfrage: will
man N zu einer Gruppe ergänzen, indem man möglichst wenige Elemente hinzufügt, landet
man automatisch bei Z.
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Satz 3.10. Sei (H, ?) eine kommutative Halbgruppe mit Kürzungsregel, H 6= ∅, und (G, ?)
irgendeine Gruppe, sowie ϕ : H → G ein Homomorphismus.
(a) Es gibt genau einen Homomorphismus ψ : (G(H), ?) → (G, ?) mit ψ ◦ ι = ϕ, wobei
ι : H → G(H) der Homomorphismus aus Satz 3.8 ist, d. h. das Diagramm

/ G(H)
H OOO
OOO
OOO
ψ
ϕ OOOO
OO' G
ι
ist kommutativ.
(b) Ist ϕ injektiv, dann auch ψ .
Beweis. (a) Wir definieren ψ : G(H) → G : [g, h] 7→ ϕ(g) ? ϕ(h)−1 . Dann ist ψ wohldefiniert, denn ist [g, h] = [g 0 , h0 ], dann ist g ? h0 = h ? g 0 . Da ϕ Homomorphismus ist,
ist ϕ(g) ? ϕ(h0 ) = ϕ(h) ? ϕ(g 0 ). Zu zeigen ist ϕ(g) ? ϕ(h)−1 = ϕ(g 0 ) ? ϕ(h0 )−1 . Man
beachte, dass G nicht notwendigerweise kommutativ ist. Allerdings gilt ϕ(g) ? ϕ(h) =
ϕ(g ? h) = ϕ(h ? g) = ϕ(h) ? ϕ(g), d. h. die Bilder zweier beliebiger Elemente aus H
kommutieren. Daher ist
ϕ(g) ? ϕ(h)−1 = ϕ(h)−1 ? ϕ(g) = ϕ(g 0 ) ? ϕ(h0 )−1 ,
und ψ ist wohldefiniert. ψ ist Homomorphismus, denn für g, h, g 0 , h0 ∈ H gilt
ψ([g, h] ? [g 0 , h0 ]) = ψ([g ? g 0 , h ? h0 ] = ϕ(g ? g 0 ) ? ϕ(h ? h0 )−1
= ϕ(g) ? ϕ(g 0 ) ? ϕ(h)−1 ? ϕ(h0 )−1
= ϕ(g) ? ϕ(h)−1 ? ϕ(g 0 ) ? ϕ(h0 )−1
= ψ([g, h]) ? ψ([g 0 , h0 ]).
Es gilt ψ ◦ ι = ϕ, denn für h ∈ H ist
ψ ◦ ι(h) = ψ([h ? h0 , h0 ]) = ϕ(h ? h0 ) ? ϕ(h0 )−1 = ϕ(h ? h0 ? h−1
0 ) = ϕ(h).
Schließlich ist ψ eindeutig, denn angenommen ψ 0 ist ein weiterer Homomorphismus,
der die geforderten Eigenschaften erfüllt. Seien g, h ∈ H . Dann ist ψ([g ? h0 , h0 ]) =
ψ ◦ ι(g) = ϕ(g) = ψ 0 ◦ ι(g) = ψ 0 ([g ? h0 , h0 ]) (ähnlich für h statt g ) und daher
ψ([g, h]) = ψ([g ? h0 , h0 ] ? [h ? h0 , h0 ]−1 ) = ψ([g ? h0 , h0 ]) ? ψ([h ? h0 , h0 ])−1
= ψ 0 ([g ? h0 , h0 ]) ? ψ 0 ([h ? h0 , h0 ])−1 = ψ 0 ([g, h]).
(b) Sei ϕ nun injektiv. Seien g, h, g 0 , h0 ∈ H mit ψ([g, h]) = ψ([g 0 , h0 ]). Dann ist ϕ(g)ϕ(h)−1 =
ϕ(g 0 )ϕ(h0 )−1 , also ϕ(g ? h0 ) = ϕ(g) ? ϕ(h0 ) = ϕ(g 0 ) ? ϕ(h) = ϕ(g 0 ? h). Wegen der
Injektivität von ϕ folgt g ? h0 = g 0 ? h = h ? g 0 , also [g, h] = [g 0 , h0 ]. Somit ist auch ψ
injektiv.
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Integritätsbereiche, irreduzible Elemente und Primzahlen
Definition 4.1. Ein Ring (R, +, ·) ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen + : R × R → R
und · : R × R → R, sodass
(a) (R, +) abelsche Gruppe ist,
(b) (R, ·) Monoid ist und
(c) die Distributivgesetze
(r + s) · t = r · t + s · t
r · (s + t) = r · s + r · t
für alle r, s, t ∈ R
gelten.
Mit 0 und 1 bezeichnet man die neutralen Elemente der Addition bzw. Multiplikation von R,
R nennt man kommutativ, falls die Multiplikation zusätzlich kommutativ ist.
Beispiel 4.2. Beispiele für Ringe sind:
• Z, Z/nZ
• der Matrizenring (K)n×n = Mn×n (K) der n × n-Matrizen, wobei K ein Körper oder
Ring ist, dieser ist nicht kommutativ für n ≥ 2.
• alle Körper, z. B. Q, R, C, Z/pZ
• EndK (V ), wobei V ein K -Vektorraum ist. Falls dimK V = n < ∞ ist, gilt EndK (V ) ∼
=
n×n
(K)
als Ringe
Definition 4.3. (a) Sei (G, +) eine Gruppe. Eine nichtleere Teilmenge H ⊆ G von G
heißt Untergruppe von G, falls für alle g, h ∈ H auch g + h und −g (das inverse
Element von g ) Elemente von H sind.
(b) Eine additive Untergruppe (I, +) eines Ringes (R, +, ·) heißt
• Linksideal, wenn für alle r ∈ R, m ∈ I gilt, dass r · m ∈ I ist.
• Rechtsideal, wenn für alle r ∈ R, m ∈ I gilt, dass m · r ∈ I ist.
• (zweiseitiges) Ideal, wenn I zugleich Rechts- und Linksideal ist.
In kommutativen Ringen spricht man einfach von Idealen.
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Beispiel 4.4.
(a) In jedem Ring R sind {0} und R (Rechts-, Links-, zweiseitige) Ideale.
(b) In R = Z ist für n ∈ N die Menge
nZ = {z ∈ Z | z = nx für ein x ∈ Z} = {nz | z ∈ Z}
ein Ideal. Hat man allgemein in einem Ring R ein Element s ∈ R fest gewählt, dann
ist
Rs = {rs | r ∈ R} bzw. sR = {sr | r ∈ R}
ein Links- bzw. Rechtsideal. Solche Ideale nennt man Hauptideale.
Definition 4.5. Sei R ein Ring, R∗ = R\{0}.
(a) a ∈ R∗ nennt man Nullteiler, wenn es ein b ∈ R∗ gibt mit a · b = 0 oder b · a = 0.
(b) u ∈ R∗ nennt man Einheit, falls es v, w ∈ R∗ gibt mit u · v = 1 = w · u. Beachte: ist
u eine Einheit, dann stimmen Links- und Rechtsinverses überein, denn v = 1 · v =
w · u · v = w · 1 = w. Man schreibt u−1 für v = w.
(c) R heißt Integritätsbereich, wenn 0 6= 1 ist, R kommutativ ist und keine Nullteiler
besitzt, d. h. für alle r, s ∈ R gilt r · s = 0 ⇒ r = 0 oder s = 0.
(d) R heißt Hauptidealbereich, wenn R Integritätsbereich ist und jedes Ideal ein Hauptideal ist.
Bemerkung 4.6. Die Menge aller Einheiten eines Rings R bildet mit der Multiplikation des
Rings eine Gruppe, die sogenannte Einheitengruppe U (R).
Beispiel 4.7.
K ∗.
(a) Körper (Q, R, C) sind Integritätsbereiche mit Einheitengruppe U (K) =
(b) Z ist Integritätsbereich und Hauptidealbereich (Beweis später).
(c) Z[x] ist Integritätsbereich, aber kein Hauptidealbereich.
(d) Z/4Z ist kein Integritätsbereich.
(e) M2×2 (K) mit K Körper ist nicht kommutativ und besitzt Nullteiler.
Lemma 4.8. Ist R ein Integritätsbereich, dann gilt die Kürzungsregel in (R∗ , ·).
Beweis. Seien r, r0 , s ∈ R mit s 6= 0 und r · s = r0 · s. Dann ist 0 = r · s − r0 · s = (r − r0 ) · s.
Da R nullteilerfrei ist, folgt r − r0 = 0, also r = r0 , d. h. die Kürzungsregel gilt in R∗ .
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