Blatt 9 - Institut für Mathematik

Humboldt-Universität zu Berlin
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
Institut für Mathematik
Unter den Linden 6, D-10099 Berlin
Frank Gounelas
Übungsaufgaben Algebra und Zahlentheorie (SoSe 2016)
Serie 9
Abgabe: 29.06.2016 in der Vorlesung
Aufgabe 1 (Satz von Lagrange, Normalteiler (20 Punkte)).
(a) Folgern Sie aus dem Satz von Lagrange, dass in einer endlichen Gruppe
die Ordnung eines Elements stets ein Teiler der Gruppenordnung ist.
(b) Schließen Sie daraus, dass eine Gruppe von Primzahlordnung zyklisch ist.
(c) Zeigen Sie, dass in einer abelschen (d.h. kommutativen) Gruppe G alle
Untergruppen H ≤ G Normalteiler sind.
(d) Sei G eine Gruppe. Zeigen Sie, dass jede Untergruppe vom Index zwei ein
Normalteiler ist.
Aufgabe 2 (Eigenschaften der Ringe (10 Punkte)).
(a) Zeigen Sie das Unterringkriterium: Sei (R, +, ·) ein Ring und S ⊂ R eine
nicht-leere Teilmenge. Dann ist S ein Unterring von R genau dann, wenn:
1 ∈ S und für alle a, b ∈ S gilt a · b, a − b ∈ S.
(b) Sei Z/nZ := {0, 1, . . . , n − 1} mit Addition und Multiplikation modulo n,
wie in der Vorlesung eingeführt. Betrachten Sie I := nZ das Ideal in Z.
Geben Sie einen Homomorphismus f : Z → Z/nZ mit ker(f ) = I, und
folgern Sie daraus, dass Z/I und Z/nZ isomorph sind.
Aufgabe 3 ((*Bonusaufgabe) Ringe und Ringhomomorphismen (20 Bonuspunkte)).
Seien A ein kommutativer Ring mit Einselement 1A und Nullelement 0A .
(a) Zeigen Sie, dass es genau einen Homomorphismus f : Z → A der Ringe
gibt. (Hinweis: Dedekind-Rekursion und Ausnutzung der HomomorphismusEigenschaften für Ringe;)
(b) Für einen Integritätsbereich A sei dessen Charakteristik definiert als
(
0,
falls f : Z → A aus (a) injektiv ist
char(A) =
p = min{n ∈ N : f (n) = 0}, andernfalls.
Zeigen Sie, dass p mit p = char(A) 6= 0 stets eine Primzahl ist, in diesem
Falle ker(f ) = pZ := {pk : k ∈ Z} gilt und der kleinste Unterring (Primring) von A genau p Elemente besitzt.
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(c) Sei C((0, 1), R) die Menge der stetigen, reellwertigen Funktionen auf dem
Intervall (0, 1) ⊂ R. Zeigen Sie, dass durch die Definitionen (f + g)(x) :=
f (x) + g(x) und (f · g)(x) := f (x) · g(x) für solche Funktionen f und
g sowie für alle x ∈ (0, 1) die Struktur eines kommutativen Ringes auf
C((0, 1), R) festgelegt ist, dieser Ring aber Nullteiler besitzt, also kein
Integritätsbereich ist. (Gegenbeispiele für f und g!)
(d) Bestimmen Sie die multiplikative Einheitsgruppe C((0, 1), R)× dieses Funktionenringes.
Vergessen Sie nicht,
1. die Lösungen jeder Aufgabe auf separaten Blättern abzugeben,
2. alle Blätter mit Name, Matrikelnummer und Übungsgruppe zu versehen,
3. Ihre Lösung stets auf Basis der Vorlesung bzw. Übung zu begründen.
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