Stefan K.
Wintersemester 2004/05
10.Übungsblatt Algebra II
Aufgabe 3
Zu zeigen: Sind M 0 und M 00 zwei endlich erzeugte A-Moduln und ist
φ
ψ
0 −→ M 0 −−→ M −−→ M 00 −→ 0
eine exakte Folge, dann ist auch M endlich erzeugt.
Beweis:
Daß diese Folge exakt ist, bedeutet, daß imφ = kerψ, und ψ ist surjektiv.
M 0 ist endlich erzeugt, es sei mit {x1 , . . . , xm } ein Erzeugendensystem für M 0
bezeichnet. Für i = 1, . . . m benenne ich yi := φ(xi ). Dann wird kerψ = imφ
erzeugt durch {y1 , . . . , ym }.
Weiterhin ist auch M 00 endlich erzeugt, dann sei mit {u1 , . . . , un } ein
Erzeugendensystem für M 00 bezeichnet. Weil ψ surjektiv ist, existieren
{v1 , . . . , vn } ∈ M mit ψ(vi ) = ui für i = 1, . . . n.
Sei N das durch {v1 , . . . , vn } erzeugte A-Untermodul von M . Das Bild ψ(N )
enthält u1 = ψ(v1 ), . . . , un = ψ(vn ), diese erzeugen M 00 . Also ist ψ(N ) = M 00 .
⇒ ∀ z ∈ M gilt ψ(z) ∈ M 00 = ψ(N ), also ∃ v ∈ N mit ψ(v) = ψ(z).
⇒ ψ(v) − ψ(z) = 0
⇒ ψ(v − z) = 0
⇒ v − z ∈ kerψ = imφ
⇒ z = (z − v) + v ∈ imφ + N
⇒ M = imφ + N ist endlich erzeugt. Ein Erzeugendensystem wäre zum
Beispiel {y1 , . . . , ym , v1 , . . . , vn }.
/4P
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Aufgabe 4
Definition: Für einen A-Modul M bezeichne:
nX
o
M [X] :=
ai X i : ai ∈ M .
a) zu zeigen: M [X] ist ein A-Modul.
(M [X], +) ist eine abelsche Gruppe mit gewöhnlicher Addition:
Bezeichne
X
X
p1 =
ai X i , p 2 =
bi X i mit ai , bi ∈ M.
P
P
P
p1 , p2 ∈ M [X] ⇒ p1 + p2 =
ai X i + bi X i = (ai + bi )X i ∈ M [X], da
ai + bi ∈ M [X]. Dabei indiziere ich über dieselbe Indexmenge, wobei als
Koeffizient auch 0 auftreten darf.
Die Assoziativität überträgt sich aus M :
X
X
X
X
X
i
i
i
p1 + (p2 + p3 ) =
ai X +
bi X +
ci X =
ai X i +
(bi + ci )X i
=
X
X
X
X
ai + (bi + ci ) X i =
(ai + bi ) + ci X i =
(ai + bi )X i +
ci X i
X
X
X
=
ai X i +
bi X i +
ci X i = (p1 + p2 ) + p3 .
P
M [X] besitzt ein linksneutrales Element 0 =
0M X i mit 0M ∈ M als
neutralem
von M .
P Element
P
i
p =
ai X ∈ M [X] besitzt ein linksinverses Element −p =
(−ai )X i ,
dabei sind die −ai ∈ M die inversen Elemente der ai ∈ M , denn es ist
X
X
X
X
p + (−p) =
ai X i +
(−ai )X i =
ai + (−ai ) X i =
0M X i = 0.
M [X] ist kommutativ, denn
X
X
X
X
p1 + p2 =
ai X i +
bi X i =
(ai + bi )X i =
(bi + ai )X i
=
X
bi X i +
X
ai X i = p 2 + p 1 ,
da M kommutativ ist.
Also ist (M [X], +) eine abelsche Gruppe.
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Für q ∈ A[X], p ∈ M [X] definiere ich das Produkt qp als das gewöhnliche
Produkt von Polynomen. Dann ist qp ∈ M [X], denn die Koeffizienten von
q sind aus A, die Koeffizienten von p sind aus M , und M ist ein A-Modul,
daher sind die Koeffizienten von qp auch aus M , und folglich ist qp ∈ M [X].
Ich überprüfe die Distributivgesetze, sie folgen im Grunde direkt aus der
Distributivität von M als A-Modul, da die Koeffizienten distributiv sind:
A[X] 3 q1 =
X
ai X i , A[X] 3 q2 =
X
bi X i , M [X] 3 p =
X
ci X i
mit ai , bi ∈ A, ci ∈ M,
X
(q1 + q2)p =
=
X
ai X i +
X
bi X i
X
ci X i =
i
X
XX
i
(ai + bi )X )
ci X =
(aj + bj )ci−j X i
i
XX
aj ci−j + bj ci−j X =
j=0
i
XX
i≥0
i
XX
aj ci−j X i +
aj ci−j +
j=0
i
X
j=0
bj ci−j X i
i
X
bj ci−j X i
j=0
j=0
i
XX
aj ci−j X i +
bj ci−j X i = q1 p + q2 p.
j=0
i≥0
i
XX
i≥0
=
=
i
j=0
i≥0
X
(ai X i + bi X i )
ci X i
i
i≥0
=
X
i≥0
j=0
Das andere Distributivgesetz in M [X] folgt ebenfalls aus dem entsprechenden
Distributivgesetz für M als A-Modul:
M [X] 3 p1 =
X
ai X i , M [X] 3 p2 =
X
bi X i , A[X] 3 q =
X
ci X i
mit ai , bi ∈ M, ci ∈ A,
q(p1 + p2 ) =
=
X
ci X i
i
XX
i≥0
X
cj (ai−j
j=0
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ai X i +
X
X
X
bi X i =
ci X i
(ai + bi )X i
i
XX
i
+ bi−j ) X =
cj ai−j + cj bi−j X i
i≥0
j=0
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=
i
XX
i≥0
cj ai−j +
j=0
=
i
cj bi−j X =
j=0
i
XX
i≥0
i
X
cj ai−j X
j=0
i
XX
i≥0
i
+
i
XX
i≥0
i
cj ai−j X +
j=0
i
X
cj bi−j X
i
j=0
cj bi−j X i = qp1 + qp2 .
j=0
Auch das Assoziativgesetz überträgt sich aus dem Assoziativgesetz des
A-Moduls M , denn in den entstehenden Polynomprodukten sind die Koeffizienten Produkte von Elementen des A-Moduls M mit Elementen aus A,
damit assoziativ mit den Elementen aus A, so folgt die Assoziativität von
M [X] bezüglich A[X].
Schließlich haben wir M = AM = {qp : q ∈ A, p ∈ M }, also stimmt M [x]
mit (AM )[X] überein. b) zu zeigen: M [X] ' A[X] ⊗A M
Ich definiere den Homomorphismus
φ : A[X] ⊗A M −→ (AM )[X]
p(x) ⊗A m 7−→ p(x)m
mit p(x) ∈ A[X], m ∈ M .
Die Homomorphieeigenschaft von φ ist offensichtlich, und φ besitzt eine offensichtliche Inverse
φ−1 : (AM )[X] −→ A[X] ⊗A M
p(x)m 7−→ p(x) ⊗A m
Daher induziert φ einen Isomorphismus von Tensorprodukten zwischen
A[X] ⊗A M und (AM )[X], in a) habe ich festgestellt, daß M [x] = (AM )[X],
also ist M [X] ' A[X] ⊗A M . Stefan K., Algebra Blatt 10
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c) zu zeigen: ist p ein Primideal in A, dann ist p[X] ein Primideal in A[X].
Ich betrachte den Quotientenring A/p, und bezeichne A/p 3 a + p =: a, für
a ∈ A. Wir haben einen Ringhomomorphismus
φ : A[X] −→ (A/p)[X]
X
X
φ
ai X i 7−→
ai X i
mit ai ∈ A, ai ∈ A/p.
Weil p ein Primideal in A ist, ist A/p ein Integritätsbereich. Ich benutze den
Satz, daß R[X] ein Integritätsbereich ist, wenn R ein Integritätsbereich ist.
(z.B. Meyberg Kapitel 4.1). Danach ist also A/p[X] ein Integritätsbereich.
Danach ist kerφ ein Primideal in A[X].
Wegen kerφ = p[X] ist also p[X] ein Primideal in A[X].
d) zu prüfen: ist m ein maximales Ideal in A, ist dann m[X] ein maximales
Ideal in A[X]?
Sei m ein maximales Ideal in A. A/m ist ein Körper, ich bezeichne ihn mit
k := A/m.
Die in c) betrachtete Abbildung φ ist surjektiv, das bedeutet
A[X]/p[X] ' (A/p)[X].
Jedes maximale Ideal ist ein Primideal, daher ist für p := m
A[X]/m[X] ' (A/m)[X],
A[X]/m[X] ' k[X].
k[X] ist kein Körper (denn x 6= 0 kann keine Einheit in k[X] sein), daher
kann m[X] kein maximales Ideal in A[X] sein. /4P
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