Blatt 8 - Institut für Mathematik

Humboldt-Universität zu Berlin
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
Institut für Mathematik
Unter den Linden 6, D-10099 Berlin
Frank Gounelas
Übungsaufgaben Algebra und Zahlentheorie (SoSe 2016)
Serie 8
Abgabe: 22.06.2016 in der Vorlesung
Aufgabe 1 (Untergruppen und Gruppenhomomorphismen (10 Punkte)).
(a) Sei f : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Beweisen Sie die folgenden
Aussagen:
(i) U ≤ G (d. h. U ist eine Untergruppe von G) impliziert f (U ) ≤ H.
(ii) V ≤ H impliziert f −1 (V ) ≤ G.
(b) Seien f : G → H und g : H → K Gruppenhomomorphismen. Zeigen Sie,
dass auch g ◦ f ein Gruppenhomomorphismus ist.
(c) Finden Sie alle Gruppenhomomorphismen f : (Z/5Z, +) → (Z/5Z, +).
Bestimmen Sie zusätzlich jeweils den Kern und das Bild dieser Homomorphismen.
Aufgabe 2 (Zyklische Gruppen (10 Punkte)).
Sei (G, ◦) eine zyklische Gruppe.
(a) Zeigen Sie, dass G kommutativ ist.
(b) Wenn G unendlich ist (d. h. mit unendlicher Ordnung), zeigen Sie, dass
ein Isomorphismus f : Z → G existiert.
(c) Wenn G endliche Ordnung n ≥ 1 hat, zeigen Sie, dass ein Isomorphismus
f : G → Z/nZ existiert.
Aufgabe 3 (Symmetrische und Diedergruppen (10 Punkte)).
(a) Finden Sie ein Element der Ordnung 6 in S5 .
(b) Konstruieren Sie explizit einen Isomorphismus f : S3 → D6 (wobei D6 =
D2·3 die Diedergruppe der Isometrien des 3-Ecks ist) (Hinweis: Argumentieren Sie geometrisch, oder schreiben Sie explizit alle Elemente auf und
geben Sie f explizit an.)
Vergessen Sie nicht,
1. die Lösungen jeder Aufgabe auf separaten Blättern abzugeben,
2. alle Blätter mit Name, Matrikelnummer und Übungsgruppe zu versehen,
3. Ihre Lösung stets auf Basis der Vorlesung bzw. Übung zu begründen.
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