Geometrie / Topologie I Serie 7

Prof. Dr. A. Beliakova
Herbstsemester 2015
Geometrie / Topologie I
Serie 7
Abgabe: Montag 09.11.2015, 10.00 Uhr.
Aufgabe 1. (3 Punkte) Sei F : R3 → R3 eine orientierungsumkehrende Isometrie und
sei c : I → R3 eine Kurve. Beweise, dass es κF ◦c (t) = κc (t) und τF ◦c (t) = −τc (t) gilt.
Aufgabe 2. (3 Punkte) Sei c : I → R3 eine reguläre Kurve. Beweise, dass folgende
Aussagen für jede t ∈ I äquivalent sind:
0
(i) kT (t)k =
6 0.
(ii) Die Vektoren c0 (t) und c00 (t) sind linear unabhängig.
(iii) κc (t) > 0.
Bemerkung: Eine solche Kurve heisst eine streng reguläre Kurve.
Aufgabe 3. (2 Punkte) Sei c : I → R3 eine streng reguläre Kurve. Beweise, die folgenden
Gleichungen:
τc (t) =
det(c0 (t), c00 (t), c000 (t))
hc0 (t) × c00 (t), c000 (t)i
=
.
2
kc0 (t) × c00 (t)k
kc0 (t) × c00 (t)k2
Aufgabe 4. (3 Punkte) Sei c : I → R3 eine Kurve, so dass, τc (t) = 0 für jede t ∈ I.
Beweise, dass das Bild der Kurve auf eine Ebene liegt.
Aufgabe 5. (3 Punkte) Sei c : R → R3 die rechtsgängige Helix:


a cos t


c(t) =  a sin t  .
bt
Beweise, dass eine Isometrie Fs : R3 → R3 für jede s ∈ R existiert, so dass, Fs ◦ c(t) =
c(t + s).
Aufgabe 6. (3 Punkte) Berechne die Torsion der folgenden Kurven:


t ln t − t


(i) c1 : (0, +∞) → R3 gegeben durch c1 (t) = 
5
,
2t ln t + 2t
1


a cos t


(ii) c2 : R → R3 gegeben durch c2 (t) =  a sin t  .
bt
Aufgabe 7. (3 Punkte) Sei c : (a, b) → R2 eine glatte Kurve, so dass, das Bild von
c in einem abgeschlossenen Ball in R2 mit Radius R und Zentrum {0, 0} enthalten ist.
Beweise, dass κc (q) ≥ 1/R für eine q ∈ (a, b), wenn kc(q)k = R.
2

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