Blatt 3

Prof. Dr. Felix Leinen
Geometrie, Algebra und Zahlentheorie“ im WS 15-16
”
06. November 2015
ÜBlatt 3
Abgabe der Hausaufgaben bis Freitag, 13. November 2015, 13:13 Uhr im Übungskasten neben
der Mathe-Fachschaft.
1. Auf der Potenzmenge P(X) einer festen Menge X betrachten wir die Verknüpfung , die
gegeben ist durch
A B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
für alle
A, B ⊆ X .
Untersuchen Sie, ob P(X) mit dieser Verknüpfung eine Halbgruppe, ein Monoid oder gar eine
Gruppe ist.
[4 P]
2. Für 1 ≤ k ≤ 3 sei Uk das Erzeugnis der ersten k Einheitsvektoren im R-Vektorraum R3 .
Wir betrachten die Menge
S = ϕ ∈ EndR (R3 ) ϕ(Uk ) ⊆ Uk−1 für 1 ≤ k ≤ 3 .
(a) Welche markante Form haben die Darstellungsmatrizen der Endomorphismen aus S bzgl.
der kanonischen Basis des R3 ?
[1.5 P]
(b) Untersuchen Sie, ob S bzgl. der Hintereinanderausführung von Abbildungen eine Halbgruppe, ein Monoid oder gar eine Gruppe ist.
[1.5 P]
(c) Zeigen Sie, daß S bzgl. der folgenden Verknüpfung eine Gruppe ist:
ϕ ψ (v) = ϕ(ψ(v)) + ϕ(v) + ψ(v) für alle v ∈ R2 .
[4 P]
3. Wir betrachten das modifizierte Pentagramm:
(a) Wieviele 5-Ecke sind in dem modifizierten Pentagramm als Teildiagramme enthalten?
[1 P]
(b) Es gibt 5 innere und 5 äußere Ecken im modifizierten Pentagramm.
Wieviele Typen 5-Ecke entält das modifizierten Pentagramm, je nach Anzahl ihrer inneren
und äußeren Ecken?
[1 P]
(c) Begründen Sie, wieso sich jede bijektive Abbildung des äußeren 5-Ecks auf eines der 5-Ecke
in eindeutiger Weise zu einer Symmetrie des modifizierten Pentagramms fortsetzen läßt.
Bestimmen Sie die Mächtigkeit der Symmetriegruppe des modifizierten Pentagramms.
[5 P]
(bitte wenden)
4. Mit FSym(N) bezeichnen wir die Menge aller Permutationen von N, die fast alle k ∈ N fest
lassen. Es ist klar, daß FSym(N) als natürliche Vereinigung der endlichen symmetrischen
Gruppen Sym(n) (n ∈ N) eine Gruppe ist, in der jedes nicht-triviale Element gemäß 2.14 als
ein Produkt endlich vieler disjunkter Zykel der Länge > 1 geschrieben werden kann.
(a) Zerlegen Sie die Permutation σ = 1 7 13 11 4 9 5 2 4 5 2 7 10 13 6 9 4 2 8
aus FSym(N) in ein solches Produkt disjunkter Zykel.
[1 P]
(b) Zeigen Sie, daß jedes Zykel aus FSym(N) ein Produkt von Transpositionen ist.
[1 P]
(c) Zeigen Sie:
[2 P]
Ist ζ ein Zykel der Länge ` , so hat ζ die Ordnung `.
(d) Folgern Sie: Ist σ ∈ FSym(N) das Produkt der disjunkten Zykel ζ1 , . . . , ζn , und hat
ζk die Länge `k , so ist die Ordnung von σ die eindeutig bestimmte kleinste natürliche
Zahl, die sich für jedes k ∈ {1, . . . .n} als ein Vielfaches von `k schreiben läßt.
[3 P]
5. Wir betrachten ein Kartenspiel mit 2n Karten, welches wir auf klassische Art mischen, indem
wir den Gesamt-Stapel in der Mitte teilen und die Karten der beiden halben Stapel abwechselnd
so übereinanderlegen, daß sich die Position jeder Karte im Gesamt-Stapel ändert.
(a) Beschreiben Sie diesen Mischvorgang durch eine Permutation τn ∈ Sym(2n) .
Geben Sie hierzu eine Berechnungsformel für τn (k) in Abhängigkeit von n und k an.
[1 P]
(b) Berechnen Sie nun die Ordnung der Permutation τn für einen regulären Satz von Skatkarten und für einen regulären Satz von Pokerkarten.
[3 P]
(c) Bei welchem der beiden Kartenspiele verläuft der Mischvorgang gründlicher ?
[1 P]

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