Algebra - FSR Mathematik

Algebra
Handout 5 zum Mathematik-Brückenkurs
Carl Hammann, µFSR, TU Dresden
Version vom 7. Oktober 2015,
Fehler und Verbesserungsvorschläge bitte an
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5.1 Gruppen
Definition 5.1. Ein Paar ( G, ∗) aus einer Menge G und einer Funktion ∗ : G × G →
G; ( a, b) 7→ a ∗ b, heißt eine Gruppe, falls
1. ein Assoziativgesetz gilt, das heißt, falls für alle a, b, c ∈ G gilt, dass ( a ∗ b) ∗ c =
a ∗ ( b ∗ c ).
2. es ein neutrales Element gibt, das heißt, falls es e ∈ G gibt, sodass für alle a ∈ G gilt,
dass e ∗ a = a ∗ e = a
3. jedes Element ein inverses Element hat, das heißt, falls es für jedes a ∈ G ein a−1 ∈ G
gibt, sodass a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e, wobei e das neutrale Element von G ist.
Dann nennt man ∗ die Verknüpfung der Gruppe.
Aufgabe 5.1. Überzeuge dich davon, dass die Menge der Symmetrien des gleichsetitgen Dreiecks aus dem Beispiel mit der Hintereinanderausführung tatsächlich eine Gruppe bildet!
Aufgabe 5.2. Welche der folgenden Paare von Menge und Verknüpfung sind Gruppen? Begründe!
1. (N, +)
2. (N, ·)
3. (R, +)
4. (R \ {0}, ·)
5. ({ f : M → M | f ist bijektiv}, ◦) für eine Menge M
6. (Z, −)
1
Aufgabe 5.3. Zeige, dass jede Gruppe genau ein neutrales Element hat und dass jedes ihrer
Elemente genau ein inverses Element hat.
Aufgabe 5.4. Sei ( G, ∗) eine Gruppe. Zeige, dass ( a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1 für alle a, b ∈ G.
Aufgabe 5.5. Beweise die Kürzregel: Für jede Gruppe ( G, ∗) und a, b, c ∈ G gilt a ∗ b =
a ∗ c ∨ b ∗ a = c ∗ a ⇒ b = c. Was bedeutet sie für die Verknüpfungstafel?
Definition 5.2 (abelsche Gruppe). Eine Gruppe ( G, ∗) heißt abelsch (nach Niels Abel),
falls in ihr das Kommutativgesetz gilt, d.h. falls für alle a, b ∈ G
a∗b = b∗a
gilt.
Aufgabe 5.6. Vervollständige folgende Verknüpfungstafel so, dass sie eine abelsche Gruppe
beschreibt. Du hast dann die Klein’sche Vierergruppe (nach Felix Klein) gefunden.
◦
1
a
b
c
1
a
a
1
b
c
c
Definition 5.3 (zyklische Gruppe). Eine Gruppe ( G, ∗) heißt zyklisch, falls es a ∈ G gibt,
sodass es für jedes b ∈ G eine natürliche Zahl n mit
an := |a ∗ a ∗{z· · · ∗ }a = b
n-mal
gibt. Das Element a wird Erzeuger von G genannt.
Aufgabe 5.7. Zeige, dass jede zyklische Gruppe abelsch ist.
Aufgabe 5.8. Zeige, dass jede Gruppe mit drei Elementen eine zyklische Gruppe ist.
5.2 Körper
Definition 5.4. Ein Tripel (F, +, ·) aus einer Menge F und Funktionen +, · : F2 → F heißt
ein Körper, falls es 0, 1 ∈ F mit 0 6= 1 gibt, sodass
1. (F, +) eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 ist.
2. (F \ {0}, ·) eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 1 ist.
3. das Distributivgesetz gilt, d.h. falls für alle a, b, c ∈ F gilt, dass
a · (b + c) = a · c + a · b.
2
Für a ∈ F bezeichnet man das inverse Element von a in (F, +) mit − a und das inverse
Element von a in (F, ·) mit a−1 . Wenn keine Missverständnisse zu befürchten sind, schreibt
man auch F statt (F, +, ·).
Aufgabe 5.9. Welche der folgenden Tripel (F, +, ·) sind Körper?
1. (N, +, ·)
2. (Z, +, ·)
3. (R, +, ·)
4. (R, +, ÷)
5. F2 := ({0, 1}, +, ·) mit + und · gemäß folgender Verknüpfungstafeln:
+
0
1
0
0
1
·
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
Aufgabe 5.10. Sei (F, +, ·) ein Körper. Zeige, dass dann für alle a ∈ F gilt, dass 0 · a = 0.
Aufgabe 5.11. Sei (F, +, ·) ein Körper. Verwende Aufgabe 5.10, um zu zeigen , dass − a =
(−1) · a für alle a ∈ F.
Aufgabe 5.12. Sei (F, +, ·) ein Körper. Verwende Aufgaben 5.10 und 5.11, um zu zeigen,
dass dann a · b = (− a) · (−b) für alle a, b ∈ F gilt.
Aufgabe 5.13. Wie viele verschiedene Körper mit drei Elementen gibt es?
5.3 Körper mit Ordnung
Definition 5.5 (totale Ordnungsrelation). Eine Ordnungsrelation R ⊆ A2 heißt total, falls
für alle a, b ∈ A gilt, dass a ≤ b oder b ≤ a. (kein entweder-oder!)
Definition 5.6 (geordneter Körper). Ein Quadrupel (F, +, ·, ≤) aus einem Körper (F, +, ·)
und einer totalen Ordnungsrelation ≤ auf F definiert ist, heißt geordneter Körper (oder auch
angeordneter Körper), falls sich die Ordnung mit den Körperoperationen verträgt, das heißt,
falls für a, b, c ∈ F gilt:
1. a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c
2. a ≤ b ∧ 0 ≤ c ⇒ a · c ≤ b · c
Elemente a ∈ F mit a ≤ 0 und a 6= 0 heißen negativ, Elemente mit 0 ≤ a und a 6= 0 heißen
positiv. Wir schreiben für a, b ∈ F:
1. a < b, wenn a ≤ b und a 6= b
3
2. a ≥ b, wenn b ≤ a
3. a > b, wenn b < a
Aufgabe 5.14. Sei ( F, +, ·, ≤) ein geordneter Körper. Zeige, dass dann a < 0 ⇔ − a > 0 für
alle a ∈ F.
Aufgabe 5.15. Sei ( F, +, ·, ≤) ein geordneter Körper. Verwende Aufgaben 5.12 und 5.14, um
zu zeigen, dass dann a2 := a · a > 0 für alle a ∈ F mit a 6= 0.
Aufgabe 5.16. Verwende Aufgabe 5.15 um zu zeigen, dass in jedem geordneten Körper 0 < 1
gilt!
Aufgabe 5.17. Verwende Aufgabe 5.16, um mit vollständiger Induktion zu zeigen, dass in
jedem geordneten Körper
0 < 1| + 1 +{z· · · + 1}
n-mal
für alle n ∈ N gilt. Folgere daraus unter Verwendung von Aufgabe 5.5, dass jeder geordnete
Körper unendlich viele Elemente haben muss.
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