Blatt 00

Einführung in die Algebra
SoSe 2016
Prof. Dr. Peter Schneider
Mark Feldmann
Präsenzübung
1. Es sei G eine endliche abelsche Gruppe mit neutralem Element e. Man zeige,
dass
Y
g2 = e
g∈G
gilt. Hinweis: Man überlege sich, dass G → G, g 7→ g −1 eine Bijektion ist.
2. Es sei G eine Gruppe mit neutralem Element e, sodass g 2 = e für alle g ∈ G
gilt. Man zeige, dass G abelsch ist.
3. Es sei M ein endlicher Monoid mit Einselement und M erfülle folgende Kürzungsregel: Für alle a, x, y ∈ M mit ax = ay gilt x = y. Man zeige, dass M eine
(endliche) Gruppe ist. Man überlege sich ein Gegenbeispiel für den Fall, dass
M nicht endlich war.
4. Es sei M eine Menge mit einer Verknüpfung ◦, die das Assoziativgesetz erfüllt.
Außerdem existiere ein Linksneutrales e ∈ M (d.h. e ◦ x = x für alle x ∈ M )
und zu jedem x ∈ M existiere ein Linksinverses (d.h. es existiert y ∈ M , sodass
y ◦ x = e). Man zeige, dass M eine Gruppe ist.
5. Es sei G eine Gruppe und g ∈ G. Wir nennen die Abbildung
lg : G → G, x 7→ gx
Linkstranslation und es sei
S(G) := {σ : G → G bijektive Abbbildung }
die Gruppe der bijektiven Selbstabbildungen von G. Man zeige, dass die Abbildung
G → S(G), g 7→ lg
ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist und folgere, dass jede endliche
Gruppe als Untergruppe einer Permutationsgruppe Sn mit n ∈ N aufgefasst
werden kann.

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