Mathematische Strukturen – Lösungsblatt 2 1. (a) Die Menge H1

Mathematische Strukturen – Lösungsblatt 2
Hagen Knaf, SS 2015
1. (a) Die Menge H1 aller Funktionen f ∈ Fun ([a, b], R), die eine Nullstelle
bei x0 ∈ [a, b] besitzen, versehen mit der punktweisen Addition. Die
Zahl x0 ist hierbei vorgegeben.
(H1 , +) ist eine abelsche Gruppe.
Begründung: Sind f, g ∈ H1 , so gilt nach Definition der punktweisen Summe zweier Funktionen
(f + g)(x0 ) = f (x0 ) + g(x0 ) = 0 + 0 = 0,
also f + g ∈ H1 , womit die punktweise Addition eine innere Verknüpfung von H1 ist.
Da die punktweise Addition beliebiger Funktionen aus Fun ([a, b], R)
assoziativ ist, wie in der Vorlesung gezeigt wurde, muss dies für die
Funktionen in H1 nicht mehr gezeigt werden.
Die Nullfunktion ist ein Element von H1 . Da die Nullfunktion neutrales Element von (Fun ([a, b], R), +) ist (Vorlesung), ist sie auch
neutrales Element von (H1 , +).
Für jede Funktion f ∈ H1 gilt nach Definition (−f )(x0 ) = −f (x0 ) =
−0 = 0, also −f ∈ H1 . Da −f das Inverse zu f in (Fun ([a, b], R), +)
ist (Vorlesung), besitzt jedes f ∈ H1 also ein Inverses in H1 .
Die punktweise Addition ist kommutativ (Vorlesung).
Damit sind alle Anforderungen an eine abelsche Gruppe erfüllt.
Hinweis: Siehe auch das Beispiel 10 im Skript.
(b) Die Menge H1 versehen mit der punktweisen Multiplikation.
(H1 , ·) ist ein kommutatives Monoid.
Begründung: Sind f, g ∈ H1 , so gilt nach Definition des punktweisen Produkts zweier Funktionen
(f · g)(x0 ) = f (x0 ) · g(x0 ) = 0 · 0 = 0,
also f · g ∈ H1 , womit die punktweise Multiplikation eine innere
Verknüpfung von H1 ist.
Da die punktweise Multiplikation beliebiger Funktionen aus Fun ([a, b], R)
assoziativ ist, wie in der Vorlesung gezeigt wurde, muss dies für die
Funktionen in H1 nicht mehr gezeigt werden.
Die Einsfunktion ist das neutrale Element von (Fun ([a, b], R), ·), diese
liegt aber nicht in H1 , da sie bei x0 den Funktionswert 1 6= 0 besitzt.
Man kann aber dennoch in H1 ein neutrales Element e finden. Dieses
muss die Eigenschaft e(x0 ) = 0 und e · f = f · e = f für alle f ∈ H1
besitzen. Man definiert also die Funktion e wie folgt:
e(x) := 1 falls x 6= x0 ,
e(x0 ) = 0.
Dann gilt e ∈ H1 und e ist ein neutrales Element von (H1 , ·).
Besitzt eine Funktion f ∈ H1 eine Nullstelle x1 6= x0 , so gilt für jede
Funktion g ∈ H1
(f · g)(x1 ) = f (x1 )g(x1 ) = 0.
Folglich besitzt f kein Inverses in H1 , womit (H1 , ·) keine Gruppe
ist.
Die punktweise Multiplikation ist kommutativ (Vorlesung).
Damit sind alle Anforderungen an ein kommutatives Monoid erfüllt.
Hinweis: Siehe auch Beispiel 10 im Skript.
(c) Die Menge H2 aller Funktionen f ∈ Fun ([a, b], R) mit den Eigenschaften f ([a, b]) ⊆ [a, b] und f (x0 ) = x0 , versehen mit der Verkettung von Abbildungen.
(H2 , ◦) ist ein Monoid.
Begründung: Sind f, g ∈ H2 , so gilt für jedes t ∈ [a, b] nach Voraussetzung auch f (t) ∈ [a, b], das heißt man kann die Verkettung g ◦ f
wirklich bilden. Weiter gilt nach Voraussetzung
(g ◦ f )(x0 ) = g(f (x0 )) = g(x0 ) = x0 .
Insgesamt zeigt dies g ◦ f ∈ H2 , womit die Verkettung ◦ eine innere
Verknüpfung von H2 ist.
In der Vorlesung wurde gezeigt, dass die Verkettung von Abbildungen
assoziativ ist. Dies muss daher für die Elemente aus H2 nicht mehr
gezeigt werden.
Die Identität id (t) = t ist ein Element von H2 . Es gilt offensichtlich
id ◦ f = f ◦ id = f , womit id neutrales Element von H2 ist.
Eine notwendige Bedingung für die Invertierbarkeit einer Funktion
f ∈ H2 ist die Bijektivität. Nun liegt in H2 aber auch die Funktion
f (t) = x0 für alle t ∈ [a, b]. Dies ist für a < b nicht injektiv, hat also
kein Inverses, womit H2 keine Gruppe ist.
Insgesamt sind alle Anforderungen an ein Monoid erfüllt.
Hinweis: Siehe auch das Beispiel 11 im Skript.
2. Diese Aufgabe wurde in der Vorlesung noch nicht bearbeitet/besprochen.
Studiengang Angewandte Mathematik
2
Hochschule RheinMain

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