Hausaufgaben zu: Komplexe Zahlen - Lehrer-Uni

LGÖ Ks
VMa 12
Schuljahr 2015/2016
Hausaufgaben zu: Komplexe Zahlen
1) Zeige: Für alle komplexen Zahlen z und w gilt
2
a) z  w  z  w ;
b) z  w  z  w ;
c) z  z  z ;
d) z  w  z  w .
Hinweis: Setze z  a  b i und w  c  d i . Berechne zunächst die linke Seite der Gleichung
und anschließend die rechte Seite.
2) Gegeben ist die komplexe Zahl z1  2  2 i .
Berechne die Zahlen z2  z1  i , z3  z2  i und z4  z3  i und stelle alle Zahlen in der
komplexen Zahlenebene dar.
3) Gegeben ist die komplexe Zahl
b) z  1  i .
a) z  1  i ;
Berechne die Potenzen z 2 , z 3 und z 4 und stelle alle Zahlen in der komplexen Zahlenebene dar.
4) Beweise mit vollständiger Induktion unter Verwendung von Hausaufgabe 1 b):
n
Für eine komplexe Zahl z und eine natürliche Zahl n gilt z n  z .
5) Beweise mit vollständiger Induktion unter Verwendung von Hausaufgabe 1 d):
n
Für eine komplexe Zahl z und eine natürliche Zahl n gilt z n  z .
6) Berechne.
4  5i
a)
6  8i
b)
4  5i
6  8i
c)
4  5i
6  8i
d)
4  5i
6  8i
7) Gegeben sind die Zahlen z  4  3 i und w  6  8 i .
Bestimme die Polarform von z und von w.
Berechne z  w und bestimme die Polarform von z  w .
8) Wie entsteht z   i  (als Punkt in der komplexen Zahlenebene) aus z? Begründe.
Gib ein Beispiel an und zeichne.
9) Berechne  6  8 i  auf zwei verschiedene Arten.
3
10) Berechne die beiden Quadratwurzeln der Zahl.
a) i
b) 5  12 i
c) 5  12 i
11) Berechne eine dritte Wurzel der Zahl.
a) i
b) 2  11i
c) 2  11i
12) Bestimme alle dritten Wurzeln der Zahl.
a) 8
b) 8
Stelle jeweils alle Wurzeln in der komplexen Zahlenebene dar.
13) Bestimme eine reelle Lösung der Gleichung.
a) x3  24 x  72  0
b) x3  24 x  32  0
3a_auf_komplexezahlen
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VMa 12
Schuljahr 2015/2016
Standardaufgabe: Berechne eine n-te Wurzel w einer komplexen Zahl z  a  b i .
Lösung:
1. Berechne z  a 2  b 2 .
2. Berechne tan  arg  z   
b
a
arg  z   
Achtung: Im Fall a  0 und b  0 muss man 180° zum GTR-Ergebnis addieren, und im Fall
a  0 und b  0 muss man 180° vom GTR-Ergebnis subtrahieren!
 arg  z  
 arg  z  
3. Berechne Re  w   n z  cos 
 und Im  w   n z  sin 
.
n
n




Standardaufgabe: Bestimme eine reelle Lösung der Gleichung x3  px  q  0 .
Lösung:
3
2
 p q
1. Berechne D       .
 3  2
2. Fall D  0 : Berechne x  3 
q
q
 D3  D.
2
2
Fall D  0 :
3. Berechne z  
q
 D mit
2
D
4. Berechne den Realteil Re  w  
5. Berechne x  2  Re  w  .
3a_auf_komplexezahlen
3
D i.
 arg  z  
z  cos 
 einer dritten Wurzel w von z.
 3 
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