Übung 14

Mathematik für Physik und Computational Science, 14. Übung
WS 2015/16
1.
https://www.tu-chemnitz.de/∼lahol/lehre/phcsb14
Man bestimme die Integrationsgrenzen von
x
f (x, y)d(x, y)
B
bei Zurückführung dieses Integrals auf ein Doppelintegral für
(a) B sei das Dreieck mit den Eckpunkten A = (0, 0), B = (1, 1), C = (1, 0),
(b) B sei das Dreieck mit den Eckpunkten in A = (0, 0), B = (2, 0), C = (1, 1),
(c) (HA) B wird begrenzt durch x = 0, y = 1, y 2 = x.
2.
Vertausche die Integrationsreihenfolge
Z 1 Z √1−x2
Z
(a)
f (x, y)dydx,
(b)
−1
f (x, y)dydx,
0
0
Z
f (x, y)dydx,
(c) (HA)
1
(b) (HA)
x
(d) (HA)
Z
a cos ϕ
f (ϕ, r)drdϕ.
0
B = {(x, y) : x2 + (y − 1)2 ≤ 1, y ≤ −x + 2},
B endliches Gebiet, das von den Parabeln
y = x2 und y 2 = x begrenzt wird,
(x2 + y)d(x, y),
B
x x 2
(c)
d(x, y),
y
π
2
− π2
0
Berechne
x
(a)
xd(x, y),
B
x
e Z log x
Z
3.
2 Z 2x
B wird von y = x, x = 2, xy = 1 begrenzt.
B
4.
Schreibe das Integral
Z
2Z x
f
0
p
x2 + y 2 dydx
0
auf Polarkoordinaten um!
5.
Bestimme das Volumen des Körpers, der durch das elliptische Paraboloid z = 2x2 + y 2 + 1, die
Ebene x + y = 1 und die Koordinatenebenen begrenzt wird.
6.
Berechne mit einem Raumintegral das Volumen des Körpers, der durch die Flächen x2 +y 2 = a2
und x2 + z 2 = a2 begrenzt wird.
t
(HA) Berechne das Raumintegral B f (x, y, z)d(x, y, z) für f (x, y, z) = xyz, B wird begrenzt
von z 2 = x2 + y 2 , x2 + y 2 + z 2 = 8, x = 0, y = 0, wobei x, y, z ≥ 0.
7.
8.
Berechne das Volumen des Körpers, der von der Kugel x2 + y 2 + z 2 = R2 aus dem Zylinder
2
x2 + y 2 ≤ R4 herausgeschnitten wird.
9.
(HA) Man bestimme die Masse und die Lage des Schwerpunktes der Kugel
x2 + y 2 + z 2 ≤ 2az,
wenn die Dichte in den Kugelpunkten dem Abstand dieser Punkte vom Koordinatenursprung
umgekehrt proportional ist.
10.
Ein Körper habe die Form eines Kegelstumpfes (Radien a, b, Höhe h). Berechne das Trägheitsmoment
bzgl. seiner Achse für die Dichte ρ = 1.
11.
(HA) Stelle das Raumintegral zur Berechnung des Volumens des Prismas auf, welches durch
die Punkte (0, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 1), (2, 0, 2) und (0, 2, 2) bestimmt wird.
12.
(HA) Berechne die Masse des Körpers B, wenn die Dichte ρ(x, y, z) = ex
{(x, y, z) : x2 + y 2 ≤ a2 , 0 ≤ z ≤ h} ist.
2 +y 2
und B =

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