年番号氏名 1 n を自然数とする．曲線 C : y = 1 n xn+1

年番号
1
1 n+1
x
+ 1 (x = 0) 上の点 P(a; b) における接線 `
n
が原点を通っている．ただし a > 0 とする．
n を自然数とする．曲線 C : y =
4
氏名
x 軸上を点 A が次の規則にしたがって動くとする．1 回サイコロを振るごとに，
² 5 以下の目が出ると，x 軸の正の方向に 1 進む．
(1) a の値を求めよ．
² 6 の目が出ると，原点に移動する．ただし，原点にある場合はその位置にとどまる．
(2) 曲線 C と直線 ` および y 軸で囲まれた部分の面積 Sn を求めよ．
点 A は最初に原点にあるとする．
(3) lim Sn を求めよ．
n!1
(1) 3 回サイコロを振った後の点 A が x = 2 にある確率を求めよ．
（名古屋工業大学 2007 ）
(2) n を自然数，k を 0 5 k 5 n をみたす整数とする．n 回サイコロを振った後の点 A が
x = k にある確率 pk を求めよ．
2
(3) n を自然数とする．n 回サイコロを振った後の点 A の x 座標の期待値 En を求めよ．
次の問いに答えよ．
¼
; がただ 1 つの実数解 ® をもつことを示せ．
(1) 方程式 x tan x = 1 #0 < x <
2
1
(2) lim e¡ x cos x を求めよ．
(4) lim En を求めよ．
n!1
2
（名古屋工業大学 2007 ）
x!+0
1
(3) c を実数とする．方程式 e¡ x cos x = c #0 < x 5
ような c の値の範囲を (1) の ® を用いて表せ．
¼
; が異なる 2 つの実数解をもつ
2
（名古屋工業大学 2007 ）
3
放物線 y2 = 4px (p > 0) 上に 4 点があり，それらを y 座標の大きい順に A; B; C; D
¡!
とする．線分 AC と BD は放物線の焦点 F で垂直に交わっている．ベクトル FA が x 軸
5
原点を O とする座標空間内に 3 点 A(3; 0; 0)，B(0; 2; 0)，C(p; q; 2) がある．
¼
¼
ÎAOC =
，ÎBOC =
であるとき，次の問いに答えよ．
4
3
(1) p; q を求めよ．
(2) 三角形 ABC の面積を求めよ．
(3) 原点 O から 3 点 A; B; C を通る平面に下ろした垂線の足を H とする．線分 OH の長
の正の方向となす角を µ とする．
(1) 線分 AF の長さを p と µ を用いて表せ．
1
1
(2)
+
は µ によらず一定であることを示し，その値を p を用いて表せ．
AF ¢ CF
BF ¢ DF
（名古屋工業大学 2007 ）
さを求めよ．
（名古屋工業大学 2006 ）
6
初項が a1 = 2 である数列 fan g について，初項から第 n 項までの逆数の和 Rn =
は Rn = 1 ¡
えよ．
1
an+1 ¡ 1
n
P
k=1
1
ak
(n = 1; 2; 3; Ý) をみたしている．このとき次の問いに答
(1) a2 ; a3 を求めよ．
(2) n = 2 のとき an+1 を an を用いて表せ．
(3) 数学的帰納法により，n = 2 のとき不等式 an = n + 1 が成り立つことを示せ．
(4) lim Rn を求めよ．
n!1
（名古屋工業大学 2006 ）
7
座標平面上に曲線 C1 : y = e
p
3x
がある．点 A(a; b) を中心とする半径 r の円 C2 は，
点 P(0; 1) において曲線 C1 と接線を共有し，かつ x 軸の正の部分と接している．円 C2
と x 軸との接点を Q とする．このとき次の問いに答えよ．
(1) a; b および r を求めよ．
(2) 点 A を通り x 軸に平行な直線と曲線 C1 との交点を B とする．曲線 C1 と線分 AB お
よび弧 PQ で囲まれた部分の面積を求めよ．
（名古屋工業大学 2006 ）
8
関数 f(x) = 2x + 5 sin x ¡
1
sin 2x (0 5 x 5 2¼) のグラフを曲線 C とする．この
2
とき次の問いに答えよ．
(1) 関数 f(x) の極値とそのときの x の値とを求めよ．
(2) 曲線 C の変曲点を求めよ．
(3) 曲線 C の変曲点における C の接線を ` とする．曲線 C，接線 ` および y 軸とで囲まれ
た部分の面積を求めよ．
（名古屋工業大学 2006 ）

Download Report