(1) 関数 f(x) - SUUGAKU.JP

年番号
1
関数 f(x) =
x¡1
のグラフを曲線 C とする．
x2 + 1
3
(1) 関数 f(x) の極値を求めよ．
座標空間内に
O(0; 0; 0);
A(1; 2; 2);
(2) 曲線 C の変曲点を求めよ．
(3) 曲線 C 上の点 (0; f(0)) における接線を ` とする．曲線 C と接線 ` とで囲まれた図形
氏名
B(1; 0; ¡1);
C(2; ¡1; 1)
を頂点とする四面体 OABC がある．t > 0 に対して半直線 OB 上の点 P を OB : OP =
の面積 S を求めよ．
1 : t となるようにとる．
（名古屋工業大学 2016 ）
¡! ¡!
(1) 内積 AC ¢ AP を t を用いて表せ．
(2) 4APC の面積を S(t) とおく．S(t) が最小になる t の値と，そのときの S(t) の値を求
めよ．
(3) 点 Q は直線 OB 上にあり，点 R は直線 AC 上にある．線分 QR の長さの最小値と，そ
のときの点 R の座標を求めよ．
2
（名古屋工業大学 2016 ）
数列 fan g は
a1 = 4;
an+1 =
(3n + 4)an ¡ 9n ¡ 6
(n + 1)an ¡ 3n ¡ 1
(n = 1; 2; 3; Ý)
4
実数 t に対し，複素数
#
を満たす．
(1) すべての自然数 n に対し，an > 3 であることを示せ．
1
(2) bn =
とおく．bn+1 を bn と n の式で表せ．
an ¡ 3
(3) (2) で定めた数列 fbn g に対し cn = bn+1 ¡ bn とおく．数列 fcn g の一般項を求めよ．
(4) 数列 fan g の一般項を求めよ．
2
1
+ cos t + i sin t;
2
の実部を f(t)，虚部を g(t) とする．座標平面上に
曲線 C : x = f(t);
y = g(t)
(0 5 t 5 ¼)
がある．
（名古屋工業大学 2016 ）
(1) 0 5 t 5 ¼ のとき f(t) のとる値の範囲を求めよ．
(2) 曲線 C 上の点 P #f #
¼
¼
; ; g # ;; における接線の方程式を求めよ．
3
3
(3) 曲線 C の y 5 0 の範囲にある部分と x 軸とで囲まれた図形の面積 S を求めよ．
（名古屋工業大学 2016 ）
5
7
2 つの関数
f(x) =
2
;
2x + 3
g(x) =
2x + 1
¡x + 2
放物線 y = x2 上の動点 P(p; p2 )，Q(q; q2 ) が次の条件をみたしている．
0 < p < q;
ÎPOQ =
¼
4
ただし O は原点である．点 P と点 Q における接線の交点を R とする．
がある．
(1) 関数 g(x) の逆関数 g¡1 (x) を求めよ．
(1) p のとり得る値の範囲を求めよ．
(2) 合成関数 g¡1 (f(g(x))) を求めよ．
(2) q を p の式で表せ．
(3) 実数 c が無理数であるとき，f(c) は無理数であることを証明せよ．
(3) 点 R の x 座標，y 座標それぞれのとり得る値の範囲を求めよ．
(4) 次の条件によって定められる数列 fan g の一般項を求めよ．
(4) 点 R が描く曲線の方程式を求めよ．
B
a1 = g( 2);
an+1 = f(an )
(5) 点 R が描く曲線の漸近線を求めよ．
(n = 1; 2; 3; Ý)
（名古屋工業大学 2014 ）
(5) (4) で定められた数列 fan g の極限 lim an を求めよ．
n!1
（名古屋工業大学 2015 ）
8
座標空間に立方体 K があり，原点 O と 3 点 A(a; b; 0)，B(r; s; t)，C(3; 0; 0) が
次の条件をみたしている．
6
‘ OA，AB，BC は立方体 K の辺である．
四面体 ABCD は
p
’ OC は立方体 K の辺ではない．
p
‘ BA = 66，BC = 7，BD = 65
¡! ¡!
¡! ¡!
¡! ¡!
’ BA ¢ BC = 28，BC ¢ BD = 35，BD ¢ BA = 40
“ b > 0; t > 0
このとき，以下の問いに答えよ．
を満たす．頂点 A から平面 BCD に下ろした垂線を AH とする．
(1) 立方体 K の一辺の長さ l を求めよ．
(1) 辺 AC の長さを求めよ．
¡! ¡! ¡!
(2) BH を BC，BD を用いて表せ．
(2) 点 A の座標を求めよ．
(3) 点 B の座標を求めよ．
(3) 線分 CH の長さを求めよ．
(4) 辺 AB 上の点 P から x 軸に下ろした垂線の足を H(x; 0; 0) とする．PH の長さを x
(4) 面 ABC を直線 AH の周りに 1 回転させるとき，面 ABC が通過する部分の体積 V を
求めよ．
を用いて表せ．
(5) 立方体 K を x 軸を回転軸として 1 回転させて得られる回転体の体積 V を求めよ．
（名古屋工業大学 2015 ）
（名古屋工業大学 2014 ）

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