年 番号 1 関数 f(x) = x¡1 のグラフを曲線 C とする. x2 + 1 3 (1) 関数 f(x) の極値を求めよ. 座標空間内に O(0; 0; 0); A(1; 2; 2); (2) 曲線 C の変曲点を求めよ. (3) 曲線 C 上の点 (0; f(0)) における接線を ` とする.曲線 C と接線 ` とで囲まれた図形 氏名 B(1; 0; ¡1); C(2; ¡1; 1) を頂点とする四面体 OABC がある.t > 0 に対して半直線 OB 上の点 P を OB : OP = の面積 S を求めよ. 1 : t となるようにとる. ( 名古屋工業大学 2016 ) ¡! ¡! (1) 内積 AC ¢ AP を t を用いて表せ. (2) 4APC の面積を S(t) とおく.S(t) が最小になる t の値と,そのときの S(t) の値を求 めよ. (3) 点 Q は直線 OB 上にあり,点 R は直線 AC 上にある.線分 QR の長さの最小値と,そ のときの点 R の座標を求めよ. 2 ( 名古屋工業大学 2016 ) 数列 fan g は a1 = 4; an+1 = (3n + 4)an ¡ 9n ¡ 6 (n + 1)an ¡ 3n ¡ 1 (n = 1; 2; 3; Ý) 4 実数 t に対し,複素数 # を満たす. (1) すべての自然数 n に対し,an > 3 であることを示せ. 1 (2) bn = とおく.bn+1 を bn と n の式で表せ. an ¡ 3 (3) (2) で定めた数列 fbn g に対し cn = bn+1 ¡ bn とおく.数列 fcn g の一般項を求めよ. (4) 数列 fan g の一般項を求めよ. 2 1 + cos t + i sin t; 2 の実部を f(t),虚部を g(t) とする.座標平面上に 曲線 C : x = f(t); y = g(t) (0 5 t 5 ¼) がある. ( 名古屋工業大学 2016 ) (1) 0 5 t 5 ¼ のとき f(t) のとる値の範囲を求めよ. (2) 曲線 C 上の点 P #f # ¼ ¼ ; ; g # ;; における接線の方程式を求めよ. 3 3 (3) 曲線 C の y 5 0 の範囲にある部分と x 軸とで囲まれた図形の面積 S を求めよ. ( 名古屋工業大学 2016 ) 5 7 2 つの関数 f(x) = 2 ; 2x + 3 g(x) = 2x + 1 ¡x + 2 放物線 y = x2 上の動点 P(p; p2 ),Q(q; q2 ) が次の条件をみたしている. 0 < p < q; ÎPOQ = ¼ 4 ただし O は原点である.点 P と点 Q における接線の交点を R とする. がある. (1) 関数 g(x) の逆関数 g¡1 (x) を求めよ. (1) p のとり得る値の範囲を求めよ. (2) 合成関数 g¡1 (f(g(x))) を求めよ. (2) q を p の式で表せ. (3) 実数 c が無理数であるとき,f(c) は無理数であることを証明せよ. (3) 点 R の x 座標,y 座標それぞれのとり得る値の範囲を求めよ. (4) 次の条件によって定められる数列 fan g の一般項を求めよ. (4) 点 R が描く曲線の方程式を求めよ. B a1 = g( 2); an+1 = f(an ) (5) 点 R が描く曲線の漸近線を求めよ. (n = 1; 2; 3; Ý) ( 名古屋工業大学 2014 ) (5) (4) で定められた数列 fan g の極限 lim an を求めよ. n!1 ( 名古屋工業大学 2015 ) 8 座標空間に立方体 K があり,原点 O と 3 点 A(a; b; 0),B(r; s; t),C(3; 0; 0) が 次の条件をみたしている. 6 ‘ OA,AB,BC は立方体 K の辺である. 四面体 ABCD は p ’ OC は立方体 K の辺ではない. p ‘ BA = 66,BC = 7,BD = 65 ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ’ BA ¢ BC = 28,BC ¢ BD = 35,BD ¢ BA = 40 “ b > 0; t > 0 このとき,以下の問いに答えよ. を満たす.頂点 A から平面 BCD に下ろした垂線を AH とする. (1) 立方体 K の一辺の長さ l を求めよ. (1) 辺 AC の長さを求めよ. ¡! ¡! ¡! (2) BH を BC,BD を用いて表せ. (2) 点 A の座標を求めよ. (3) 点 B の座標を求めよ. (3) 線分 CH の長さを求めよ. (4) 辺 AB 上の点 P から x 軸に下ろした垂線の足を H(x; 0; 0) とする.PH の長さを x (4) 面 ABC を直線 AH の周りに 1 回転させるとき,面 ABC が通過する部分の体積 V を 求めよ. を用いて表せ. (5) 立方体 K を x 軸を回転軸として 1 回転させて得られる回転体の体積 V を求めよ. ( 名古屋工業大学 2015 ) ( 名古屋工業大学 2014 )
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