電磁気基礎

物理基礎問題集
電磁気
電磁気
No-1
◎○ P1 磁場基礎
class
解答 No-1
P1　順に
No.
Name
次の空白を埋め、問題に答えよ。
N、　S、
F= ｍ H、磁束、Φ、磁束、磁荷ｍ、磁束密度 B、Φ＝ BS
磁場は電場と同じように磁力線で表すことができる。磁力線の向きは磁場と同
ア）　磁場 H[N/Wb],[A/m]、磁束Φ [Wb]、
磁荷ｍ [Wb]、B[Wb/m2]
じで　から　の向きである。磁場 H があるところに磁荷ｍがあれ
(D[Q/m2] 電束密度 )
電気）　電場 E[N/c],[V/m]、
( 電束 N[Nm2/c])、電荷 Q[c] 、
ば　という力を受ける。しかし、電場と異なり単一の磁荷をと
＊電束密度は高校では登場しない。
りだすことはできない。磁力線は　ともよばれ　で表す。そうす
電気のガウスの法則は E・S=N=Q/ ε、磁気では H・S= ｍ / μだから
るとこの　は　に等しい。
B・S= Φ＝ｍを代入すると B= μ H
磁力線の数は磁場より単位面積あたりの磁束である　を用いたほ
イ）
うが正しくガウスの法則によって　という関係がある。
ア）磁場、磁束、磁荷、磁束密度の記号と単位を示し、それぞれ電気の対応す
Ｎ　Ｓ
る記号と単位を示せ。また磁場のガウスの法則から B と H の　関係を導け。
◎
◎
イ）下の図について磁力線を図示せよ。
（磁石の中も図示すること　B の立場）
P2　順に
また、この磁石と同じ磁場を４本の直線電流、1 個のコイルで作りたい場合
F= ｋｍ１ｍ２/ ｒ２
どうしたらよいかそれぞれ図右に描け。
（コイルは手前を太くすること）
磁荷に働く力を磁石 A の N 極のみ考える。S 極についても同様なので
その合力はｘ方向のみに働き、N 極のｘ成分を２倍すればよい。
Ｎ　Ｓ
m+
P2　磁場のクーロンの法則
L
数をｋとして両者の間には　の力が働く。そこで
次のように長さ L、質量 M、N 極に＋ｍ、S 極に－ｍの強さの磁荷を持つ棒磁
石 A,B を摩擦の無い水平面に静かにおき、
放す。初めの両者の距離は X とする。
放した直後の棒磁石 A の B に対する加速度を求めよ。( 棒磁石の厚みは無視）
m+
L
m-
m-
FN
A
F1= ｋｍ２/ ｘ２
ｘ
mm- 側にも同じ力が働く
F2= ｋｍ２/(L2+X2)
また Cos θ＝ｘ / √ (L2+X2)
よって F1 と F2 の合力 FN のｘ成分は
F1-F2Cos θ＝ｋｍ２｛１/ ｘ２ーｘ /(L2+X2)3/2｝となる。
X
B
B
クーロンの公式から
θ
X
距離ｒ、磁荷の強さが m1、m2 の単磁荷があったとすると磁場のクーロン定
m+
F2
図のように２つの F1 と F2 を受ける
F1
m+
A
よって棒磁石 A の重心には S 極から同じｘ方向に力が加わるので合力 Fx は
ｘ
Fx= ２ｋｍ２｛１/ ｘ２ーｘ /(L2+X2)3/2｝＝ Ma だから
m-
a= ２ｋｍ２｛１/ ｘ２ーｘ /(L2+X2)3/2｝/M となるが、同じことは B の棒磁石に
☆公式・Point
F = km m21 m2
r
F=mH, Φ＝ BS ＝ｍ　[Wb] B: 磁束密度 [Wb/m2]=[T]
B= μ H　μ：透磁率
もいえるので A の B に対する加速度はこの 2 倍になる。向きはｘの正の向き
a= ４ｋｍ２｛１/ ｘ２ーｘ /(L2+X2)3/2｝/M
物理基礎問題集
電磁気
No-2
◎○ P1．
【アンペール、
ビオ・サバールの法則】
図のようにア）直線電流（裏
I
電磁気
class
No.
Name
イ）ビオ・サバールの法則 N
円電流 (n 回巻き )
解答 No-2
P1　ア）
から表）
、イ）円電流 I( 左周り n 回巻き）ウ）磁石内の電流 I( 裏から表長さ L)
がある時の磁場の様子を描き、観測点 P での磁場 ( ウは力 ) を求めよ。
＜
ア）
イ）
ウ）
P
N
ｒ
P
P
ｒ
◎
S
◎☆ P2．
【アンペールの法則】
図のように１００回巻いた半径５０ｃｍの
アンペールの
円形コイルを１００Ωの抵抗と２０V の直流電源につなげた。
法則円磁場
L
A
B
C
ア）図のようにコイルの中心を通る平面を
I
2rr
H=n
P2　ア
I
2r
S
ローレンツ力 F=IL × B
円電流 I ＝２０/ １００＝０．
２A
コイルが貫く点を A,B とする。A,B での
巻数を考え公式から H ＝ NI/2 ｒ
磁場の様子を図示しなさい。（上から見
A
た図）またコイルの中心での磁場の強さ
電流
H=
B
＝ 100 × 0.2/
（2 × 0.5）
＝２０[A/m]
を求めなさい。
イ）
次に AB の延長線上で B から A と反対向きで５０ｃｍの位置に C 点を作る。
イ） C 点はコイルの中心からちょうど１ｍの距離にある。
この C 点を貫き平面と垂直に直線 L を置く。この直線 L にどういう向きに
直線電流の磁場 H ＝ I/ ２πｒより上問の結果を利用すると
どれだけの電流を流せばコイルの中心の磁場を消去できるか。
２０＝ I/ ２πｒから I=40 π＝ 126A　向きは下向き。
◎○ P3. 【ローレンツ力（電磁力）
】
空白をうめ、問題に答えよ。
P3　磁場Ｂがあるところに＋ｑが静止しているだけでは何もおきない。
磁場 B( 一様上向き ) がある空間内で電荷＋ q の粒子が速度ｖで運動すると
ところがこの電荷が速度ｖを持つと右ねじのルールで磁場Ｂ ’ ができる。
が生じる。この時のｑが作る磁場とＢを図示し、これから速度ｖと
Ｂは一様で上向き
q が裏から表
2つのBとＢ’
力Ｆの関係を示せ。また長さＬの導線に電流Ｉが流れる場合のＦを求めよ。
にｖで運動
が干渉し、左が
Ｑ）地磁気の向きに十分長い直線導線を用意する。この導線の真下のある
すると
疎、右が密にな
位置に摩擦のない方位磁針をおいた。ある一定の電流を流す。
30°
り左に力が働く
ア）導線の真上から観察した時、直線と 30°の角度をなした。ここで
この力Ｆは外積になり F=qv ×Ｂとなる。
の磁場の強さは地磁気の何倍か。また電流の向きを求めよ。
qv を電流 IL で置き換えれば同じ外積で F=IL × B になる。
イ）方位磁針を 60°
の角にするには電流をア）の何倍にすればよいか。
この時、導線からの発熱量は何倍になるか。
なる。よって地磁気を Ho とすれば H=HoTan30°＝ 1/ √３＝０．５８倍
ウ）次にまったく同じ導線をちょうど方位磁針が中点にくるように方位磁針の
下に置き、同じ電流を北に流す。　方位磁針が導線となす角は何度になるか。
☆公式・Point
ローレンツ力 F=IL × B qv × B
アンペールの
ビオ・サバールの法則
I
I
法則円磁場
H=
2rr
円電流 (N 回巻き )
ア）
直線電流の磁場 H は導線に垂直だから図のような磁場ベクトルの関係に
H=n
2r
電流の向きは右ねじから北向き
地磁気 Ho
北
H
イ）先と同様に H’=HoTan60°
＝√３となるから
H' ＝３H よって３倍　電力は I2R から発熱量は９倍
ウ）電流の向きが上下で同じだから磁場は打ち消しあ
う。よって０°
物理基礎問題集
電磁気
No-3
◎○ P1【電流の作る磁場（静磁場）
】
3
ア）下図のように電流 I が距離ｒ離れて紙面裏から表に流れている。P,Q 点で
電磁気
class
No.
Name
解答 No-3
P1　ア）図のような向きの円磁場が同心円状に広がるので P 点での磁場は打
ち消し合い０である。Q 点では同じ大きさの図のような磁場ｈができる。
の磁場 H を求め、向きを図示せよ。
イ）電流を流している線にはどういう向きにどれだ
Q
r
け力が働いているか。
r
r
導線の長さを L、透磁率はμとする。
P 中点
ｈ
H
アンペールの法則からｈ＝ I/2 π r
２つの H ベクトルのなす角は 60°
なので
Q
ｈ
求める磁場 H=2hCos30°
＝√３I/（２πｒ）
［A/m]
イ）同じ向きだから引力が働く。
P
１つの導線に注目すると他方の導線のつくる
ウ）図のような N 回巻きの半径ｒのコイルを用意した。電流 I を流す。
磁場は B= μ I/ ２πｒで上向き
中心での磁場 H を求めよ。さらに右図のよ
L
２r
F=IL × B だから F= μ I ２L/( ２πｒ )
うに巻数を変化さえることな　く長さ L ま
で引き延ばした。コイル中心の磁場 H' を求
ウ）N を巻き数、n を巻き数密度（単位長さあたりの巻き数）とすると
めよ。
公式から　H=NI/2r
H'=nI ＝ NI/L
◎ P2 【電磁誘導】
次の空白に記号、単位、公式等を書き、問題に答えよ。
磁束密度　と、磁場　との間には　という関係がある。
P2　穴埋め順に B[Wb/m2]、 H[A/m] 、B= μ H、Φ＝ BS[Wb]、
閉曲線、時間、
これによって磁束Φはガウスの法則から　と簡単にかける。
電磁誘導、打ち消す、ΔΦ / Δ t（ｎ重巻きの回路ならｎΔΦ / Δｔ
導線が　をなす場があり、これに磁束Φが貫く時、Φの　的な変化
＊ B は磁束密度で単位はテスラ T、H は磁場だが B のことも磁場と呼ぶことがある。
が　を生む。つまり閉曲面内のΦの変化を　向きに電流が流れるの
P2　１辺に注目すると H=NI/2 πｒより H1=NI/ π L　である。この時の起電力は閉回路全体に生じ、その大きさは　となる。
ア）H1 ＋ H2 ＋ H3 ＋ H4= ４NI/ π L　向きは裏から表
ア）図のように１辺 L の正方形の N 回巻きのコイルがある。このコイルに電
イ）順に　磁束、
電流、誘導起電力、ダイオード
流 i を図の向きに流した時、正方形の中心での磁場 H と向きを求めよ。
ウ）右図のように電源投入直後は磁束が急にできて i
イ）電流を切った瞬間について次の空白をうめよ。
誘導起電力が最も大きく働くので断線している
電源を切るとある時間Δｔで電流が流れなくなる。
I
状態と同じ。
ｔ
するとコイル内の　が減少するのでこれを妨
H
i
L
げる向きに　を流そうと　が生じる。
＊誘導電流の向きの求め方は次の２アクション
これはΔｔが小さいと極端に大きくなるので時に回路
ΔΦ / Δｔキッカケ！
を破壊する。そのために　などの電子素子を利
①アクション：ある閉じられた導線内の磁束Φが変化する。
用して逆電流が流れないように回路を保護する。
②アクション：その変化と反対の磁束変化をおこすように右ねじで磁場
ウ）コイルに電源を入れた直後の I-t グラフを描け。（定常状態では電流 i)
☆公式・Point
平行電流
長さ L 巻き数密度 n=N/L コイル
アンペールの
I
N
F = n I1 I2
H=
中心の磁場 H = I = nI
2rr
2
r
r
L
法則円磁場
を決める。
＊ローレンツ力の向きを式でなく磁束密度できめる方法
上の②アクションの結果磁束密度に変化が生じれば密度の高いほうから
低い方に向かう力が生じる。　物理基礎問題集
電磁気
4
電磁気
No-4
○ P1　【ローレンツ力・電磁誘導】次の空白を埋め、問題に答えよ。
解答 No-4
P1　穴埋め順に
図 A のように磁場 B が紙面裏から表に一様にある。ここに電荷 +q 質量ｍの
右、増え、減る、下、ローレンツ力、F=qv × B　（外積）
帯電体 ( 青丸 ) を置き図 A の右に初速ｖを与える。すると電流が図 A　側
垂直、裏から表、表から裏、上、下、ローレンツ力、F=IL × B　（外積）
に流れたのと同じなるので帯電体の上部の磁束は　、下部は　ことに
ア）
：磁場の場合　F=q(v-u)B
なる。よって帯電体には図 A　向きの力が働き、この力が　である。
class
No.
Name
: 観測者の場合は観測者が動いても F=qvB で変わらない。
この力 F は電荷ｑ、磁束密度 B、速度ｖとすると　と表すことができる。
つまりローレンツ力の公式の中のｖは磁場と帯電体との相対速度である。
次に q を取り、磁場 B 上に図 A のような幅 L の導体のレールをつくりこの
イ）
上に摩擦のない金属棒（抵抗 R）を乗せる。この金属棒と回路の作る面積は磁
F の向きは紙面表から裏
図 B F1
場に対して　である。この時、
磁束はこの面積をある数だけ貫いている。
ｖ
図C
F2
θ
ところがスイッチを入れると回路に電流が流れ、
金属棒の上側には　向き、
B
－q
|F1| ＝ｑｖ B　図 B　ｖ
|F2| ＝ｑｖ Bsin( θ＋π / ２）
θ
＝ qvBcos θ　図 C
＋q
下側には　向きの磁場ができる。そのため金属棒の　側の磁束が増え、
B、ｑｖ（I)、F は 3 次元空間をつ
くる
金属棒には　向きの力 F が働く。これも　である。この力 F は
ウ）誘導起電力は V= ｎΔΦ / ΔｔだからΦ＝ BS だから
電流 I, 金属棒の閉回路をなす長さ L, 磁束密度 B とすると　となる。
a)
図A
L
＋q
図B
－q
図C
ｖ
B
θ
＋q
図Ｄ
ｖ
ｒが一定なら V= ｎπｒ２Δ B/ Δｔ　であり、グラフの傾きから
Δ B/ Δｔ＝ (B2-B1)/T である。また、I ＝ V/R だから誘導電流の大きさは
I=n π r2(B2-B1)/(TR) と一定な値である。磁場が増えているので磁場を打
θ
ち消す向きからこの電流は右周りである。この時ビオ・サバールの法則か
ら中心には新たに B’’= μ nI/2r が反対向きに生じる　B’=B ｰμ nI/2r
ア）図 A において磁場が帯電体のｖと同じ向きに u で動いた時のローレンツ
よってこの時のグラフは次のようになる。
力と観測者が u で同じ向きに動いた時のローレンツ力を求めよ。
a)
イ）図 B,C のローレンツ力を求め、向きを図示しなさい。
r 一定
ウ）図Ｄのようにの帯電体の代りに半径ｒのｎ回巻きコイル ( 抵抗 R) を置く。
n π r2(B2-B1)/(TR)
I
透磁率はμとする。
（電流は右周りを正とする。）
B
a) ｒを一定にして図のように
a
B2
磁束密度 B を変化させる。
B1
b)B を一定にして図のように
Ｔ t
ｒを変化させる。
☆公式・Point
r2
ｒ
Ｔ
b)
はじめの B-t グラフよ
りμ nI/2r だけ下がる
次の場合のコイル内の電流 I のグラフと中心の磁場 B'(I を用いてよい ) の
T 秒までのグラフを描け。
（向きも求めてグラフに目盛も入れること）
B’
t
B ｰμ nI/2r
Ｔ
t
B が一定ならΔΦ＝ B Δ S である。円の面積 S= π r2 とすると
Δ S=2 π r Δｒだから V= ２ｎπｒ B Δｒ / Δｔとなる。グラフの傾きか
b
らΔｒ / Δｔ＝ (r2-r1)/T なので I=2n π rB(r2-r1)/(TR) となり r に比例する。
電流の向きは面積が増えるので打ち消す向きで右回りになる。またこの
r1
Ｔ
t
ローレンツ力 F= ｑｖ× B=IL × B　誘導起電力 V ＝ n ΔΦ / Δｔ　Φ＝ BS
I を用いて B''= μ nI/2r= μ nI/2r=2 μ n2 π B(r2-r1)/TR となり一定である。
a)
B 一定
I
I2
I1
B’
B
B ｰ B''
Ｔ
t
I1=2nB π r1(r2-r1)TR
I2=2nB π r2(r2-r1)TR
B''=2 μ n2 π B(r2-r1)/TR
t
Ｔ
はじめの B-t グラフより
B'' だけ下がる
物理基礎問題集
電磁気
電磁気
５
No-5
◎ P1【ファラデーの法則】
次の穴埋めをして問題に答えなさい。
class
No.
Name
解答 No-5
P1　順に　ファラデー、閉回路、磁束、時間、打ち消す、誘導起電力
化学の分野でも大きな業績のある　は電気の流れる　があ
ア）V ＝ー N ΔΦ / Δｔ
り、その面を貫く　が　的に変化するとその閉回路には磁束の
a）上図のようにｖが右に動けば閉曲線内の磁束は増えるので
変化を　向きに電流を流そうとする　生じることを発見した。
誘導電流は減らす向き、Ｂは反対向きになるので右周りのルー
ア）ファラデーの法則を用いて N 回巻きコイルに生じる誘導起電力を磁束Φ
プで電流は流れるＶ＝ーΔΦ / Δｔ＝ーＢΔ S/ Δｔ＝ー BL ｖ
と時間ｔを用いて表しなさい。
よって I=BLv/R[A] 負の向き
下図のように検流計 G と抵抗 R の回路に抵抗、摩擦ない金属レールと組み合
b）中図のようにｖが左に動けば閉曲線内の磁束は減るので誘
わせた。金属レールの幅は L で L が右側に進む向きをｘ軸、L の奥に向かう向
導電流は増やす向き、左周りのループで電流は流れる。閉曲面
きをｙ軸、最初の B の向きをｚ軸にとる。
に垂直な B をとり、Ｖ＝ーＢ Cos Δ S/ Δｔ＝ー BL ｖ Cos θ
よって I=BLvCos θ /R[A]　正の向き
a)　b)　ｃ）
＋
y
G
R
B はｙ軸側にθ
θ
B はｘ軸側にθ
θ
Ｂ
z
ｖ
x
＋
c）下図のようにｖが右に動けば閉曲線内の磁束は増えるで誘導電流は減らす
向き、右周りのループで電流は流れる。閉曲面に垂直な B をとり面積 S とは
＋
G
G
ｖ
R
ｖ
R
Ｖ＝ーＢ Cos Δ S/ Δｔ＝ー BL ｖ Cos θよって I=BLvCos θ /R[A]　負の向き
ウ）図のようにｖが右に動けば左閉曲線内の磁束は増え、右閉曲線の磁束は減
イ）図のように金属棒をｖで水平に動かしたとき、各 a，b、c について抵抗
Ｒを流れる電流と検流計の正負を答えよ。
ウ）同じ状況で回路をｚ軸側から眺めた時、次のよう
にした。B はｚ軸と平行で全体に一様である。
＋
G
ｖ
R
る。よって左は右周り、右は左周りの電流が流れる。よってどちらも負の向
き。この時金属棒に生じる誘導起電力は同じ向きなので左と右の和になり
＋
G
2R
V 右＝ー BLv、V 左＝ー BLv で V はー BLv で同じ。
左 I=BLv/R[A] 負の向き　右 I=BLv/ ２R 負の向き
図のように検流計、抵抗 R と２R を２つ置く、検流計の正負と各抵抗と金属
金属棒には I=3BLv/2R[A] の電流が流れる。よってｖと反対方向に
棒を流れる電流を求めよ。また導体棒に働く力と向きを求めよ。
F=IBL ＝３B2L2 v/2R[N] の力が働く。
◎ P2【コイルの運動と誘導電流】
P2）0 ≦ t<L/v ではコイル内の面積が増えΔΦ =BLv Δ t だから V= ΔΦ / Δ t
一様な紙面裏から表に B の磁場 B が幅 2L の範囲にのみ存在する。抵抗 R で
I=V/R ＝ BLv/R である。向きは B が増えるので打ち消す向きで時計回り。
１辺が L の正方形のコイルを図の t=0 の位置から一定の速さｖで右に動かす。
負この時右縦の辺が磁場中に面積をつくるので力をうけ F=IBL で負の向き。
図右、上方向と反時計回りを正とし、コイルを流れる電流 I とコイルが磁場か
L/v ≦ t<2L/v ではコイル内の面積が変化しないので電流は流れない、力も０
ら受ける力 F のグラフをｔ＝３L/v まで作成せよ。横軸の目盛を入れること。
t ≧ 2L/v ではコイル内の面積が減りΔΦ =BLv Δ t だから V= ΔΦ / Δ t
ｖ
L
B
I=V/R ＝ BLv/R である。向きは B が減るので打ち消す向きで反時計回り。正
２L
☆公式・Point
左縦の辺が磁場中に面積をつくるので力をうけ F=IBL=B2L2v/R で負の向き。
I
BLv/R
t
L/v
ファラデーの法則 V= ーｎ d Φ /d ｔ　Φ＝ BS　ローレンツ力 F=IL × B　磁場につくる面積が変化すると力を受ける。
F
-BLv/R
2L/v
t
3L/v
-IBL
L/v
2L/v
3L/v
物理問題集
電磁気
電磁気
No-6
◎○ P1　レンツの法則・電磁誘導
class
解答 No-6
P1　ア）電源電圧
No.
図のようにコイルと抵抗、電流計の回路に電圧の波形を調整できる電源（ファ
抵抗の両端の波形は振幅は変化
ンクションジェネレータ）を接続した。コイルのすぐ横には図のような銅製の
リングをつるしてある。電流計で電流の波形を調べると下図右のようにな I-t
グラフが得られた。点線の間隔は全て等しくΔｔとし、周期的に続くとする。
Name
抵抗の両端電圧
しても同じ形
ｔ
0
ｔ
0
＊ただし、作図するときグラフの振幅に関しては概略してよい。　コイルがあると電源 V をかけて電流が流れ始めるとコイル内の磁束が変化す
ア）
電源が出している電圧と抵抗の両端の電圧の波形を図に重ねて描きなさい。
るので磁束の変化に比例して誘導起電力が生じ、すぐには一定電圧にはならな
イ）電流がコイルを右に流れる向きを正とし、時刻 t1=0、t2= Δ t、t ３= ２Δｔ
い。電源の V を切った時も逆向きに起電力が生じるのですぐには０にならない。
の直後についてリングに流れる電流の向きとリングの動きを図示しなさい。
正
N
I0
A
R
イ　t1　t2
I
S
N
電流が正の時は図のようにコイル手前には下向きの電流が流れてい
－ I0
波形発生器
S
P ２．
ｔ
0
S
t3
消す向き、t2 では定常になっているのでリングには誘導電流は流れ
図下のように軽い銅のリング ABC をコイルの両端と中央にコイルに触れない
ず。t3 では磁束が減るので増加させる向きに誘導電流が流れる。
A
R
るのでコイルの左が S 極になる。よって t1 ではリングをこれを打ち
◎○ P1．
【レンツの法則】
N
波形発生器
ようにつるす。コイルもリングも図手前部分を下向きに電流が流れる向きを正
コイル内の磁場は共通しているのでリングから見ればこの磁場の影響を受けると
とする。波形発生装置から図上のような周期的な電圧を加えた。抵抗は R で
考える。ただし力は、コイルが電磁石になった時、中点にある B のリングは力を受
電流計の内部抵抗および自己インダクタンスは無視してよい。
けない。電圧のグラフが磁束の状態を表していると考える。ただし、電圧が負であっ
電流の向きは正、負、０、リングの動きは右、静止、左で答えよ。
ても電流の向きが反対になるだけで電流の大きさは増えることに注意する。
V
○は境界値を含まない。●は含む
V0
0
－ V0
A　B　C
電流は正にながれるのでＳ極
ウＡ　ｔ [s]
1
2
3
4
5
6
ア）t=0 から微少時間後コイル A 側は何極が生じるか。
ア
A
R
波形発生器
正
Ｂ　Ｃ
負　負　負
オ
電流は負にながれるので N 極
ウ）t=0 から微少時間後リングＡ，Ｂ，Ｃに流れる電流の正負を答えよ。
キＡ　オ）t=2 から微少時間後コイル A 側は何極が生じるか
Ｂ　Ｂ　Ｃ
Ｃ
左　静止　右
エＡ　Ｂ　全て磁場の向きは共通している電圧、電流０だから
イ）t=0 から微少時間後リングＡ，Ｂ，Ｃの動きを求めよ。
エ）ｔ =1.5 から微少時間後Ａ，Ｂ，Ｃの電流の正負を答えよ。
イＡ　Ｃ
０　０　０
リングの動きはイと同じ
カＡ　Ｂ　Ｃ
左　静止　右
クＡ　Ｂ　Ｃ
全て磁場の向きは共通している電流を流そうと異極になるから
正　正　正
右　静止　左
カ）t=2 から微少時間後リングＡ，Ｂ，Ｃの動きを求めよ。
リングの動きはどちら向きでも電流が流れ磁束が増えるアクション①があれば②アクション
キ）t=2 から微少時間後リングＡ，Ｂ，Ｃに流れる電流の正負を答えよ。
として反対向きの磁束をつくろうとして反発する。同様に電流の向きに関係なく電流が減る
ク）t=5 から微少時間後リングＡ，Ｂ，Ｃの動きを求めよ。
方向に変化すれば②アクションとして増やす向きに磁束をつくるので結果、引き合う。
物理基礎問題集
電磁気
電磁気
No-7
○ P1【レンツの法則】
次の穴埋めをして問題に答えなさい。
class
No.
Name
解答 No-7
P1　順に　力、誘導起電力、近づけない（斥力）
、遠ざけない ( 引力 )
力学では慣性が働いている状態に変化をおこそうとすると必ず　が
電磁石、レンツの法則
N
S が近づくと図のように手
電流と磁極は次の関係になる。
S
前が左になるように電流が
必要になった。電磁気学でもこの関係は通用する。例えばコイルを固定し、こ
れに棒磁石を近づけると電源のないコイルに　が生じ、棒磁石には
N
S
向きの力が働く。逆にコイルから棒磁石を遠ざけると反対向きに起電力
Ｂ
が生じ、棒磁石には　向きの力が働く。これはコイルが棒磁石の動きに対
応し、
になったと考えることができる。これを　という。
N
Q. 下図のようなコイルを用意する。図のように磁石を変化した時、　検流計の
S
S
ア）
イ）
ウ）
＋
負 G
エ）
N
N
S
S
S
S
N
N
＋
G
とめる。
＋
G
＋
G
N
S
また、最初の場合のコイル上部に働く力を図示してこの現象を説明せよ。
流れる。従って図のような
Ｂ
ローレンツ力が F が働き
斥力が生じる。
Ｆ
N
振れ方を答えよ。
S
N
S
S
N
N
とめると流れな
い。
＋
正 G
＋
正 G
＋
G
P ２図左の状態では磁極は遠ざかっていくのでコイルには棒磁石と異極ができ、磁束密度Φ
は一番強い時である。しかし、コイルに棒磁石の近づく速度は最も遅く、磁束の変化量は小
＋
G
さい。これに対して図右ではコイルの磁束は磁石が遠くなので弱いがコイルに近づく速度は
最大なので磁束の変化量は最も大きい。コイルの磁極は N(S) が近づく側が N(S) になるので
コイルには右ねじの法則から図のように電流が流れるから電流の向きは正である。誘導起電
力はΦではなく、ΔΦ、つまり磁束の変化量に比例するから、図左の電流は０，図右が最大
○ P2. 発電機
図 A のような棒磁石をコイルの中で一定の速度で右回転させる。
になる。これはグラフでは Cos と Sin の違いで丁度π / ２だけずれている。
この位置では磁極が近づくとも遠ざか
周する間に抵抗に流れる電流とコイル内の磁束のグラフを描け。
るともとれるので電流は流れない。
ただし、図 A の棒磁石の位置をｔ＝０とし、電流は図右を正とする。
つまり磁束の変化量がない。
自己インダクタンスは無視する。
V= ーΔΦ / Δｔは磁束のグラフの傾
N　S
N　S
ｔ＝０
図A
正
R
☆公式・Point
電流と磁極は次の関係になる。
S
N
図B
きにマイナスをかけると電圧、電流の
電流 I は点線
R
レンツの法則：磁石を動かし、コイルを電
磁石にする。
S
R
正
グラフができることを表す。
Φ磁束
N
N　S
図 B の状態でのコイルに生じる磁極と電流の向きを図示し、
棒磁石が２
ｔ
N
S
物理基礎問題集
電磁気
電磁気
No-8
○◎ P1. トランス　トランス ( 変圧器 ) について空白を埋め答えよ。
class
No.
Name
解答 No-8
P1　S、N、流れない ( 磁束変化がないので )、変化、磁束、同じ、磁束、反対
図のように単位長さ当たり n1,n2(n1<n2) の巻数を持つコイル１, ２を鉄芯で
2 乗、ｋ n1n2、H( ヘンリー）
つなげる。Ｖ１側にＡからＣに一定の電流を流すと鉄芯には共通した磁束が生
Oz
Ot
ア）誘導起電力は磁束の時間変化と巻き数ｎに比例するので　とお
V=n
じるので A は　極、Ｄは　極が生じる。この時、V2 側に電流は
ける。よって V2/V1=n2/n1 の関係がある。よって V2=Vo・n2/n1・Sin ω t
。A から C に変化する電流を流すとＡのコイルにはこの電流の　となる。振幅は変化するが、位相変化はない。
により鉄心内の　が変化するので B 点には A 点と　向きに電流が
イ）M ＝ kn1n2
L1=kn12,L2=kn22 だから　M ＝√ (L1L2)
流れる。この強さを表すのが自己インダクタンス L でこれはコイルの巻き数
V1=V0sin ω t=LdI1/dt だから I1 ＝ー V0/L ω・cos ω t
の　に比例した値をとる。これから相互インダクタンス M は比例定数
V2=Vo・n2/n1・Sin ω t だから　I2= ー n2/n1・Vo/L ω・cos ωｔ
ウ）
V　I P
をｋとして　と表される。M も L も同じ単位　で表す。
V　I P
1次
ア）V1 に交流 V1 ＝ VoSin ωｔの電圧をかけると V2 から出力される電圧を
求めよ。
（n1,n2 で表せ）
自己インダクタンス L1,L2 で表せ。
V1
t
n2
n1
また、M を用いて I1、I2 を求めよ。
n2
n1
Ａ　Ｂ
イ）相互インダクタンス M をコイル 1,2 の
２次
t
V2
ウ）１次側の V1,I1、２次側の V2,I2 の
Ｃ　Ｄ
グラフを描け。また、双方で消費される電力を求めよ。
抵抗がないので消費電力は V ⊥ I だから積分して０になる。
トランスは磁束変化が共通しているので 1 次、2 次側で波形は同じになるが
どちらも電流がπ / ２遅れることに注意する。
◎ P2　ファラデーの法則・電磁誘導
P2　グラフは磁石が単振動する位置のグラフである。ｘが正なほど磁束Φは多い。よって
ウ）
次に電源をとり図のように直結する。さらに銅のリングを図のような薄く、
このグラフがほぼコイルの磁束の数を表すと考える。誘導起電　力は V= ーΔΦ / Δｔで
強力な磁石に変え、原点からコイルに近づく向きを正として図右のように単振
あったからサインのグラフはｔで微分し、さらにーがかかっているので反転すればよい。た
動させた。この時、電流計はどういうグラフになるが重ねて図示しなさい。ま
だしそれは式の上での話で実際は S 極が近づくのでコイル右が S になるからコイルは手前が
た、コイルのすぐ右側の P 点で磁場の強さを測定した時のグラフも重ねて図
下向きに電流が流れ、この問題の基準では正の向きに電流が流れることに注意する。
示しなさい。ただし、N 極を＋ S 極を－とし、自己インダクタンスは考えない。
自己インダクタンスを無視すると電流と電圧は同じ位相になると考えてよい。（無視しな
原点
N
正
S
ｘ正
R
いとずれる）
ｘ
電流
・P
A
0
P での磁場
ｔ
☆公式・Point
V= ーｎΔΦ / Δｔ　Φ＝ BS　S は B が垂直に貫く面積
P での磁場は磁石が正に動いた時には磁石側に S 極ができるので P 側は N 極、
誘導電流は打ち消す向きに右ねじで向きを決める。
つまり＋になると考える。
物理基礎問題集
電磁気
No-9
○ P1．
【電磁誘導】コイルの平行移動（等速）
図のように 1 辺の長さ a の正方形の導線 ABCD を図のように磁場 B に垂直に
なるように一定の速さ a で矢印の向きに移動させる。始点は BC が磁場にかか
る位置 P とし、終点は AD が磁場から離れる位置 Q とする。
P
N　C S
B
Q
この間、Φが最大値は BS ＝ Ba2
Φ
また面積変化は一定なので図のようなグラフにな
Ba2
る。
イ）
R ＝４ρ a/S
け移動する間のコイル ABCD を貫く磁束Φの変
a
B
class
No.
Name
コイル ABCD が磁力線を含む時間は３a/a ＝３
ア）導線 BC が P から導線 AD が Q まで距離３a だ
D
A
電磁気
解答 No-9
ア
２a
０　１　２　３　ｔ
化のようすをΦ－ｔグラフにしなさい。縦横の目
ウ）誘導起電力 V= ー d Φ /dt が生じる。その大きさはアのグラフの傾きだか
盛を記入すること。
らコイルには電流 I=V/R ＝ Ba2/R が流れる。その向きは始めはコイルを貫く磁
束が増えるからそれと反対向き、つまり B → A の向きである。磁束の変化が
イ）導線 ABCD の抵抗率をρ、断面積を S として
ない時間１から２は起電力は生じない。時間が２経過すると磁束は減少するの
抵抗 R を求めよ。以後この R を用いてよい。
で向きは反対になる。電力 P は I ２R だから負にはならない。力 F=BIa だがそ
の向きは I × B だから上下向きの力は AD,BC にかかる。時間１までは BC のみ
ウ）
ア）と同様に導線 ABCD が移動した場合、
だから外積の向きは上、ところが時間１を過ぎると AD には反対向きの力が加
導線に流れる電流 I －ｔグラフを描け。
（A → B を正）
わり、合力は０、時間２を過ぎると電流の向きが逆転するので AD のみの力が
さらに導線 ABCD から発生する電力 P －ｔグラフを描け。
上向きに働く。
さらに上向きを正として導線 ABCD が受ける合力 F の F －ｔグラフを描け。
ウ
I
2
Ba /R
P
２
４
B a /R
エ）移動が終わるまでに全導線で発生したジュール熱と全導線がした仕事およ
び磁場 B が全導線にした仕事を求めよ。
－ Ba2/R
０　１　２　３　ｔ
０　１　２　３　ｔ
F
２
３
B a /R
０　１　２　３　ｔ
エ）発生したジュール熱は P ーｔグラフの面積だから２B ２a ４/R である。
導線の仕事は W=FS と F-t グラフから時間１の間に a だけ進んでいるので
☆公式・Point
W= ー２B ２a ４/R であり、この大きさはジュール熱に等しい。つまり P+W=0、
磁場はどの導線 AB,BC,CD,DA とも直交するので仕事をしない。つまり導線内
の電場（ミクロ視点）がこの仕事をしている。
物理基礎問題集
電磁気
電磁気
No-10
○◎ P1【電磁誘導】モーター
class
No.
Name
解答 No-10
ア）数密度ｎは単位体積当たりの電子の数なので総個数 N ＝ nV となる
図のような縦横が a,b の長さのコイルＡＢＣＤを一定の磁場 B の中に置く。
V は体積　I ＝Δ q/ Δｔ＝ en Δ V / Δ t で、Δｔ秒でΔｘ進んだ時の体積変化
電気素量 e、コイルの中の電子数密度 n、
断面積をＳとする。はじめ端子
を考えればΔ V/ Δ t=S Δ x/ Δ t=Sv(v は速さ )I ＝ enSv を得る。q=enV(V は体積 )
ＰからＡＢＣＤの順で電流Ｉを流すと PQ 中心で回転した。透磁率はμ０とし
だから q=enSb ただし、ここでの電子の速さｖは電流の伝達速度ｖ ’ ではない
てよい。
ｖ ’ はほぼ光の速さなのでｖ ’ ≫ｖである。
Ｂ
S
ア）導線中の電子の平均の速さｖ ,BC 間の電気量ｑを
b
Ｃ
a
Ｄ
コイル同士の
Ｂ
の電流からの力と磁場から受ける力を分けて図示　Ｑ
し、その大きさを求めよ。(S 極側からみている）
C Ｂ
A
θの向きにある時、コイルの各辺に働く力をコイル
磁場から
電流から
C
ウ）図のθの状態から少し時間がたつとθは増えるか
θ
P
r=a/2 なので F1= μ０I2a/ ２πｂ
F1
F1
A
D
F2
F2= ０I2b/ ２π a
F3 磁場からはローレンツ力 F=ILBSin θより
F3
A
F3=IaB　F4=IbBSin θ
F4　D
コイルには電流からは広げる力、
磁場からの力はθによって変化
となる。これらの力の内回転に関わるのは
F3 だけでこれは線分 AB,CD に働く力であ
る。この線分は回転すると磁場に対して面
減るか。
エ）コイル全体の受けるモーメントを求めよ。また、
ウ）線分 AB の周りの円磁場は右ねじから上側が B と同じ、下側が反対だから
コイルに働くモーメント M-t のグラフを描け。
力は磁力線の密から疎に向かって働くので下向き、よってθは減る向き
積をつくることでモーメントを生む。
D これはどういう回転を表しているか記述せよ。
上側から辺 BC ( 左回りを正、図のθ＝ 0°
をｔ＝０とする )
エ）モーメントに関係しているのは F3 のみだからずらし法で
のみ見ている。オ）コイルがモータとして機能するように
エ）　M
Ｂ
C
P
PQ の部分
M=2 × b/2・Ｆ 3Cos θ＝ labBCos θ　ウ）からも左回転正の向き
θ＝ 0 の時がモーメントは正に最大だから Cos のグラフ
に整流子を入れる。丁度 PQ が 90°の時、整流子を
モーメントが負に変わるθ＝π / ２で回転
どう入れるか図示せよ。また整流子を入れた時の　の向きが反転し、さらにπ回転すると反
θ＝ω t 転する。以後半回転を周期的に繰り返す。
モーメント M-t グラフを描け
＋
また、整流子の代わりにダイオードを入れた場合の
Q
イ）電流間に働く力 F= μ I1I2L/2 π r より
Ｂ F4 C
する。辺 AB,CD が回転を与える
D A
B ◎
磁場から
F2
C
はどちらが大きいか、または同じか。
イ）コイルＢＣ ( ＡＤ ) が図のように磁場Ｂに対して
Ｐ
Ｂ
求めよ。また、
電流の伝達速度をｖ ’ とするとｖとｖ ’
N
Ａ
イ）コイル同士
－
θ ＝ π / ２の時：PQ が
オ）　M
M-t グラフも同じグラフ上に付け加えよ。
カ）丁度１周する間に整流子がある場合とない場合に
ダイオードは負の部分をカットする
次の瞬間に正負が逆になり且つなめ
らかに回転するために下図になる。
P
だけなので赤線 ( 太 ) のみ
θ＝ω t
ついてモーメントのした仕事を求めよ。
＋
コイルの端点で回転する。ただし回転の角速度は一定で
I=ab=B=1, ω＝２[rad/s] としてよい。
☆公式・Point
コイルのモーメント M=BS ω (Cos θ or Sin θ ) 平行電流
[Nm] コイルの面積 S　I=enSv n 電子密度
F = n I1 I2
カ）モーメントの仕事は M・θだが
モーメントのする仕事は W=F・S=Fr θ＝ M・θになる。
合はπ /2 までの４倍だから
＋、ーは電極
2rr
これは上図の面積である。整流子が
－
Q
d θ＝ω dt に注意して
4~ # sin (~t) dt = 4 bcos r - 0l = 4[ J]
2
0
ないと明らかに０、整流子がある場
T/4
物理基礎問題集
電磁気
電磁気
No-11
○◎ P1【電磁誘導】発電機
class
No.
解答 No-11
ア）　ｖ＝ｒωからω＝ v/r ＝ 2v/b[rad/s]
図のような縦横が a,b の長さのコイルＡＢＣＤを一定の磁場 B の中に置く。
イ）　ωで回転することによってΦ＝ＢＳだから磁束から見てＳ＝ abCos ω t
このコイルを下図のように一定の速さｖで回転させる。t=0 でθ＝ 0 とする。
よってＶ＝ー d Φ /dt より V=BS ω Sin ωｔ自己インダクタンスを無視する
コイル全体には抵抗 R があるとする。ab=S としてよい。自己インダクタンス
は小さいとする。
のでＩ＝Ｖ / Ｒ＝ BS ω Sin ωｔ / Ｒ
S
b
a
上側からの図 BC のみ見えている。
Ｃ
B
θ
Ｄ
Ｐ
①アクションで面積が小さくなるから
θ
誘導電流の向き
Φは減るよって②アクションではΦを増やす方向に
N
Ａ
B
よってローレンツ力はＦ＝ＩＬＢ
＝ B2S ω aSin ωｔ / Ｒ [N]
Ｂ
Name
Ｂ
C
Ｂ
C
ｖ
電流が流れる。辺 AB では右ねじからＡから表から裏の向きに電流が流れる
ので AB の下が磁力線の密度が大きくなる。よって力の向きは鉛直上向き
ｖ
Ｑ
BC が受ける磁場からの力は図の紙面裏から表、逆向きだから電流からの力
も斥力になり同じ裏から表の向きになる。
ウ）先の結果から M の大きさは
ア）一定の速さｖで回している時、角速度ωを求めよ。標準単位も記すこと。
Ｍ＝ー 2 × b/2・Ｆ Sin ω t ＝ -B2S2 ω Sin2 ω t/R ＝ -B2S2 ω (1-Cos ２ω t)/2R
以後θ＝ωｔとする。
[Nm] コイルのモーメントはｖと反対で時計回りで負
イ）t=0 から微少時間後の電流の向きと大きさを求めよ。向きも図示すること。
＊ｖと反対でないと仕事をしないから発電しない。
辺Ａ B が受けるローレンツ力の向きと大きさを求め図示せよ。
ウ）　M　V
M のグラフは図の赤で右周りのモーメン
辺 C が磁場から受けるローレンツ力と辺 AD から受ける力の向きも求めよ。
また、辺 AB の上側と下側で磁力線の密度が大きくなるのはどちらか。
ウ）コイルに生じるモーメントの向きと大きさを求めて M －θのグラフにせ
トが働くので正になることがない。ウから
θ
よ。コイルの生じる起電力と共に図示すること。Ｍ－θのグラフの面積は
Cos2 θを１だけ負に下げたの形になる。
点線（青）は I または V のグラフ
W=M・θから面積は仕事を表す。
何を表しているか。(M は反時計回りを正）
エ）ウ）先の結果から M の仕事 W=FS=Fr θ＝ M θであるから単位時間では
また、同じグラフに PQ 間で発生した電圧のグラフを描け。
θ＝ωとおけるので W=B2S2 ω２Sin2 ω t/R [J]
エ）単位時間で考えた時、コイルに生じるモーメントのする仕事 W とコイル
P=VI ＝ BS ω Sin ωｔ× BS ω Sin ωｔ / Ｒ＝ B2S2 ω２Sin2 ω t/R
に発生するジュール熱 Q を求めよ。
ｔ＝１では Q=Pt ＝ P だからなので W=Q である。
オ）コイルを回転する外力の仕事率 P' を求めよ。
オ）エネルギー保存則から単位時間でのジュール熱に等しい
P'=Q=W=B2S2 ω 2sin2 ω t/R [W]
☆公式・Point
自己インダクタンスを無視するとは
コイルに流れる電流の変化による起電力を無視すること
モーメント M のする仕事 W=M・θ [J]　仕事率は P=M・ω
①コイルを流れる電流とその両端の電圧との間にオームの法則 I=V/R が成り立つ。
エネルギー保存されれば M はジュール熱に一致　ｖ＝ｒω　T=2 π / ω
②コイルを流れる電流とその両端の電圧の位相部分は同じである。と考えよ。
物理基礎問題集
電磁気
電磁気
No-12
P1．
【誘導起電力】レール上の運動　両閉じ
class
No.
Name
解答 No-12
P1　ア）図のようにｖが右に動けば左閉曲線内の磁束は増え、右閉曲線の磁
図のように横幅が２L、縦幅が L で抵抗 R, ２R と検流計を組み合わせた回路
束は減る。よって左は右周り、右は左周りの電流が流れる。よってどちらも負
がある。磁場は一様に紙面裏から表に B である。回路の中点に図のように金
の向き。この時金属棒に生じる誘導起電力は同じ向きなので左と右の和になり
属棒（質量ｍ）を置く。金属棒と回路の動摩擦係数はμである。
V 右＝ー BLv、V 左＝ー BLv だから V= ー 2BLv よって左
ア）はじめに金属棒を一定の速さｖで図の向きに動かした。
I 左 =BLv/R[A] 負の向き　I 右 =BLv/ ２R 負の向き　検流計の正負と金属棒を流れる電流を求めよ。( 自己インダクタンスは無視 )
金属棒には和になり I=3BLv/2R　検流計は負
イ）物体に働く力は動摩擦力が F'= μｍｇ
＋
ｖ
G
R
＋
G
2R
＋
A
y
R
ウ）次に前と同じ状況で金属棒は中点で固定させて
これと F が釣り合えば等速になるわけだから　アの I を代入し、F=F' ＋ F''= μｍｇ＋ 3B2L2v/2R
検流計は交流電流計に変えた。ｔ秒後の抵抗２R を
Ｂ
z
x
t=0 で L
さらにローレンツ力が F'' ＝ ILB が共にｖと反対向き
おく、
B は Bz=B・Sin ωｔの変化する磁束にした。
鉛直上方から見た図
Q
イ）一定の速さｖで動かすのに必要な力 F を求めよ。
P
流れる電流と２R で消費される電力を求め、I-t,P-t
ウ）誘導起電力は V=- ΔΦ / Δｔより
グラフを描け。
（グラフは同じ軸上に描いてよい）
ΔΦ / Δ t= Δ (BS)/ Δｔ =BL2d/dt・Sin ωｔ =BL2 ω Cos ωｔ
金属棒を奥に流れる向きを正とする。（P → Q)
だから V=-BL2 ω Cos ωｔ、右のループでは電流の大きさは
エ）金属棒の固定を B が正の向きに最大の時には
I= ω BL2Cos ωｔ /2R　P=VI ＝ B2L4 ω 2Cos ２ωｔ /2R
ずした。この時刻をｔ＝０とする。
t=0 から磁束は増加していくので電流は右周り　正の向き
固定をはずした直後の金属棒を流れる電流と加速
ω 2B2L4/2R
度を求めよ。図の向きを正として加速度の向き（符
ω BL2/2R
号）も答えること。　( 自己インダクタンスは無視
t
する。)
エ）この時は t=0 で B が最大だから B=BCos ωｔとおける。Δ S は小さいの
でΔ B の影響のみを考える。磁場は減少するので誘導電流は磁場を増やす向
きに生じる。ΔΦ / Δ t= Δ (BS)/ Δｔ =BL2d/dt・Cos ω t=-BL2 ω Sin ωｔ
だから大きさを考えると V=BL2 ω Sin ωｔ、
右のループでは電流は I 右 = ω BL2Sin ωｔ /2R　負の向き　左ループには I 左＝ω BL2Sin ωｔ /R　正の向き
よって金属棒には I= ω BL2Sin ωｔ /2R　正の向き
☆公式・Point
レール上の等速導体棒 L、磁場を通過すると V=BvL の起電力
この時磁場は全体ではまだ上向きなのでローレンツ力はｘ軸の正の向きに
F=ILB ＝ω B2L2Sin ωｔ・Cos ωｔ /2R　運動方程式は ma=F- μ mg だから
加法定理から a= ω B2L2Sin2 ωｔ /( ４mR) －μ g
物理基礎問題集
電磁気
６
No-13
◎ｆｇ P1. ローレンツ力と電場の力　空白を埋め答えよ。
電磁気
class
No.
Name
解答 No-13
P1　ア）上、下、０、下端、上端、運動導体内も電場があるとして、
図１のように長さ L、
断面積 S、
質量 m、
自由電子の数密度 n の導体棒 L がある。
イ）全自由電子個数を N とし、
紙面裏から表に一様に磁場 B が与えられている。電子の電荷は -e とする。
Q=eN= ー enSL[C]　①
導体内も電場がある
導体棒 L を一定の速さで図右向きに動かす。この時、導体中の自由電子には
として、点線で図示
図１　向きの力が働くので導体棒中には局所的に図　向きの電場が生
ウ）電場があれば F=QE である。
ｖ
ローレンツ力からは F=Qv × B
じると考えられる。しかし、導体には十分な自由電子が存在するのでこの効果
だから E= ｖ× B である。
はすぐに全体でたし合わされ、導体中の電場は　となるが導体の図　よってｖ⊥ B だから E= ｖ B[V/m] ②
に＋、導体の図　には－の電荷がたまる。従って磁場中を　してい
エ）V=Ed だから①、②より V=BvL[V]
る導体棒はまるで棒磁石の電気版のようになっている。重力は無視できる。
オ）電流は流れないので０としたいが渦電流が生じるので０にならない。
導体棒の端点に電荷が生じるのでこれがｖの速さで移動すれば電流が
図１
ｖ
B
図２
ｖ
B
ア）導体棒 L が静止している時と、ｖで図１のように
上部はｖと反対、下部はｖと同じ向きに流れることと同じになる。
運動しているときの電気力線の様子を描け。
このローレンツ力は上部は上向き、下部は下向きに働く。この力を F
イ）導体棒 L の上部に帯電した電気量 Q を求めよ。
とすればイ）の結果を利用し、F=QvB である。
ウ）
仮想的に導体棒 L 内に生じた電場 E を B とｖで表せ。
一方で仮想的な電場の力はこれと反対向きに F=QE が働く。これからも
エ）導体棒に生じている電位差 V の大きさを求めよ。
両者がつりあうとすれば E=vB である。
オ）この導体棒 L に働いている力と向きを全て求めよ。
カ）金属棒に V=BvL の起電力が生じるので I=V/R=BvL/R ③ 向きは閉回路
重力は考えなくてよい。
の面積が減少するから磁束は同じ向きに増えるので反時計回りの電流が流
次に導体棒 L が進むと図２のような幅 L の導体の　れる。よって R 内を上向きに流れる。
レールに乗った。レールは抵抗 R に接続されている。
キ）向きは左。F=ILB ④
カ）R を流れる電流 I と向きを求めよ。
図３ ω
B
キ）この時導体棒 L に働く力と向きを求めなさい。
また、イ）
、ウ）を用いてこれを示しなさい。
＊ク）摩擦は考えないとしてレールに乗ってから導体棒
L を放す。v の半分の速さになるまでの時間を求めよ。
オ）次に図３のようにこの導体棒の下点を固定して反時
計回りに一定の角速度ωで回転させた。
☆公式・Point
仮想的な電場 E=vB を用いて①より F=qE ＝ enSLvB、I=ensv だから
F=ILB となる。
ク）③④より F=B2L2v/R　運動方程式は mdv/dt= ー B2L2v/R 変数分離して
v̇
B2 L2 両辺を積分する
=−
v
mR
log 2 =
v
v/2
1
dv = −
v
t
0
B 2 L2
dt よって
mR
2 2
mR
B L
t これから t = log 2 2 2
mR
B L
導体棒に生じている電位差 V’ を求めよ。
オ）これまでの問題から図のような扇型の回路を考えた時の起電力に等しい。
この時、回転の中心側は正か負か。
よって大きさで考えるとΔ S=1/2・r・r Δθだから
導体中、みかけの E= ｖ× B　実際は導体中の電場は０
V= ΔΦ / Δｔ＝ B・1/2・r ２Δθ / Δｔ＝ 1/2・Br2 ω
＋電荷に働くローレンツ力は常に中心から遠ざかろう
とするので中心は負。
Δθ
物理問題集
電磁気
No-14
◎☆ P1　電場と磁場　ファラデーの法則　2013 物理チャレンジ改
電磁気
解答 No-14
[ 説明文つづき ]
class
No.
Name
問題引用：http://www.jpho.jp/syllabus_w.html　物理チャレンジ
Q.　次の説明文を読んで後の問題に答えなさい。
[ 説明文 ]
問題引用：http://www.jpho.jp/syllabus_w.html　物理チャレンジ
＊良問が多く、第１問の選択問題はセンター演習として
第２問の筆記は難関大演習として十分利用できる。
時間があれば実験の問題もみてチャレンジするといいだろう。
物理問題集
電磁気
No-15
◎☆ P1【前問の続き】
電場と磁場　2013 物理チャレンジ改
電磁気
解答 No-15
P1
class
No.
Name
解 1 説明文から PQRT において起電力を生むのは PQ と RT だから
１周した場合の起電力 V は線分 PQ=RT ＝ L と置くと
①とかける。磁場がこの閉曲面を突き抜けて変動し
ていない場合はファラデーの法則から V=0 だから①より
となる。よって電場は PT 方向に一定でないといけない。
解 2 同じように TPQR において起電力を生むのは TP と QR だから同心円であ
ることを利用して TP=R1 θ、QR=R2 θとおける。よって１周した場合の
①とかける。磁場がこの閉曲面を
起電力 V は
突き抜けて変動していない場合はファラデーの法則から V=0 だから①よ
り
となる。よって電場 E は距離 R に反比例する。しかし、図
のように R に無関係で電場が一様になることはありえない。
解 3 半径ｒの円周の内部にはΦ＝ B・S の磁束が N から S 極方向にあり、この
磁束の時間変化から磁場と垂直方向に E が生じる。これに本文の式を利用
して E・L( 閉曲線）＝ -
が成り立つ。よって
②　これから
となる。
解 3 ②は Q → P の向きを正にした場合だから Q に対する P の電圧はマイナス
がかかり、V=Ed,d=2 π r からも
解 4 磁場 B 上では荷電粒子はローレンツ力を向心力として円運動をする。
題意から右ねじと反対向きを正にしているので
-qvB(t)=mv2/R だから v=-qRB(t)/m B のみが時間の関数だから
変化量をとるとΔ v= ー qR Δ B(t)/m ①
また、円周に沿って電場が E(t) があるとすると運動方程式は
m Δ v/ Δ t=-qE(t) これに①を代入し、
物理問題集
電磁気
No-16
◎☆ P1【前問の続き】
電場と磁場　2013 物理チャレンジ改
電磁気
class
No.
Name
解答 No-16
解 5 変数分離できることを仮定したので　解 4 の結果から解くことができ
る。電場 E は円周方向にあるので電位差 V はｒの関数は前に出せるから
一方で解４から同様にｒの関数は前に出して
これに先の E を解いて代入すると時間変化項が落ちて
と求まる。
解 6 図のように外側の電流を I、内側の電流を 2I とおく。
距離 R の観測点が図３のようになるためには　a>R>b である必要がある。
ソレノイドの巻き数密度をｎとすると一般に内側の磁束密度は
が成り立つ。よってｒでの磁束密度 B(r,t) は a>r>b では
B= μ ₀ ｎ I、r<b では B=3 μ ₀ ｎ I、さらに B(R,t)= μ ₀ ｎ I である。
よって R までの全磁束ΦはΦ =BS から半径ｂまでの 2 重和を引いて
Φ＝πμ ₀nIR²+3 πμ ₀nIb²- πμ ₀nIb²= πμ ₀nI(R²+2b²)
左辺に解 5 で求めた条件を代入すると
πμ ₀nI(R²+2b²)=2 πμ ₀nIR²
a
R,b>0 だから
b=R/ √ 2 となる。以上まとめると a>R, b=R/ √ 2
b
2I
解 7 ガウスの法則から電束ε ₀N= ε ₀E・S=Q(t) ＝ D(t) π a² ①
I
また、題意に沿って本文の２式を置き換えると電束密度の変化から磁場が
できるという式がマイナス符号がとれて次のように得られる。
これに①式の関係を代入すると B= μ ₀H から
となる。磁束線の向きは負極からみると反時計周りである。
コンデンサの Q が時間変化すると極板に垂直に
＋Q
H
-Q
電流が流れるから円磁場ができる。
この式は a=r とすればアンペールの法則である。
解 8 ここでは一様磁場でなく位置 R での磁場 H を考える。解４の結果から
これに解７と同じ対応を考えて
となる。
これを微分におきかえ B= μ ₀H、D= ε ₀E を代入し、H だけの関係式が
となる。これは単振動の式であり、
H=H₀Sin ωｔを代入すると
問 8　問 7 において問４のように位置 R での E と B の関係を H と D との関係で書き換えよ。また、
その結果から位置 R から H の変化がどのような速さで伝わるかがわかる。Δの変化を微小と
して微分を用いよ。ただし、位置 R では H=H₀Sin( ω t) のように変化するとしてよい。
よって速さｖ＝ R ωから
の速さで伝わる。
（これは光の速さに等しい）
物理基礎問題集
電磁気
No-17
P1【磁場のあるレール上の運動 2 本の平行で十分に長い金属製のレール
電磁気
class
No.
Name
解答 No-17
１）Ｆ＝ＢＩＬ　向きは一定の速さになることからＢに垂直でＲのある方向
( 間隔 L) が，図のように水平な床から角度θで壁に立てかけられ，レールの
上端は電気抵抗 R で結ばれている。また，磁束密度 B の一様な磁場が垂直に
２）重力とローレンツ力の釣り合いを斜面方向でたてる。
下から上に突き抜ける向きに加えられている。質量 m の金属棒をレールに垂
ｍｇ sin θ＝ＢＩＬ cos θからＩ＝ｍｇ tan θ / ＢＬ①
直に置くと，金属棒はレール上をすべり出し，やがて一定の速さとなる。重力
加速度の大きさを g とし，レールと金属棒の電気抵抗およびレールと金属棒
の間の摩擦は無視できるものとする。
(1)　金属棒が磁場から受ける力の大

３）運動方程式を立てる斜面下方を正として
ｍ a= ｍｇ sin θーＢＩＬ cos θ　よって加速度が０になる時①が成り立つ。
きさと向きを，金属棒を流れる電流 I
この時の速さをｖとすると回路には誘導起電力Ｖ＝Ｂｖ cos θ・Ｌ
を用いて表せ。
よってＩ＝ V/R ＝Ｂｖ cos θ・Ｌ /R を①に代入すると
(2)　レールと平行な方向の力のつり
ｖ＝ｍｇ R tan θ /B2L ２cos θ　②
あいから，金属棒を流れる電流の大
4）単位時間で考えれば仕事率はエネルギーに等しい。ジュール熱を U とする
きさ I を求めよ。
と U=I ２R から①より U=（ｍｇ tan θ）２R/( ＢＬ )2　重力の仕事率は
(3)　金属棒が一定の速さですべり降
P ＝ F・ｖから②から P= ｍｇ sin θ・ｖ＝（ｍｇ tan θ）２R/( ＢＬ )2　りているとき，その速さはいくらか。
となり　U=P が成り立つ。
(4)　抵抗 R で単位時間に発生するジ
ュール熱と，重力が金属棒にする仕
事率が等しいことを示せ。
P2【磁場と電場と帯電体】
＊重力は無視
P2 ア）半径が L であるからローレンツ力と遠心力の釣合から
質量ｍ、電荷ｑの帯電体がｘ方向に速さｖで運動している。A 点からスクリー
ｍｖ２/L=qvB　B=mv/ ｑ L　ｖ⊥ F なのでローレンツ力は仕事をしない。
ンまでの距離は L である。A 点のｘ方向の延長をスクリーンの中心にとる。
イ）ｘ方向の加速がないので電場はｙ方向のみ
ア）丁度 A 点に達した時、これに紙面裏から表に磁場 B をかけると帯電体は
F= ｑ E から ma=qE　よって a=qE/m ぶつかるまでの時間は t=L/v
円運動を始めぎりぎりでスクリーンに触れた時 B を求めよ。また、磁場が帯
電体に対してした仕事も求めよ。以後この B を用いてより
等加速運動の式からｙ＝ 1/2at2=Y=1/2・qEL2/mv2　①
よって E= ２mv2Y/qL ２
イ）丁度 A 点に達した時、電場をかけるとｘ方向は等速のままスクリーンの
W=FS より W=qEY ＝２mv2Y2/L ２
中心より Y だけ上方にぶつかった。電場 E を求めよ。また、電場が帯電体に
ウ）ローレンツ力と電場の力がつりあえばよい。
対してした仕事を求めよ。
よってｑｖ B=qE　より E= ｖ B
ウ）アの磁場をかけても帯電体が直進するためにはどういう電場をかければよ
帯電体のｖ（変位）に対してローレンツ力も、電場の力も直交しているの
いか。この時、電磁場が帯電体にした仕事を求めよ。
☆公式・Point
で仕事をしていない。
物理基礎問題集
電磁気
No-18
◎ P1　斜面レールと金属棒１　電磁誘導・ローレンツ力
電磁気
ア）
N
導体のレールを幅 L で平行にし、水平となす角θとなるように傾け、はじめ、
イ）
度はｇとしてよい。電流は図の向きを正とする。
棒に働く合力とその向き、加速度を求めよ。
θ
R
向の加速度を a として運動方程式をたてよ。
めよ。
I ＝ BvLCos θ /R、斜面方向のローレンツ力は ILBCos θだ
から運動方程式は ma=mgSin θー B2L2Cos2 θ v/R ①
ウ）速さｖの時、起電力 V=BvLCos θとなるので流れる電流は
I ＝ BvLCos θ /R ②　面積が減るので向きは負
2 2
2
エ） ①において a=0 とすると　mgSin θ＝ B L Cos θｖ ’/R
ｖ ’ ＝ mgRSin θ /(BLCos θ ) ２　③
ウ）この時、抵抗 R を流れる電流の向きと大きさを求
正
速さｖの時、起電力 V=BvLCos θとなるので流れる電流は
mg
イ）導体棒の速さがｖになったとき、導体棒の斜面下方
ｈ
加速度は ma=mgSin θより、a=gSin θ
F=ILB
ア）導体棒をおいた瞬間に抵抗 R に流れる電流と導体
B
直抗力が働く。その合力は斜面下方向に mgSin θである。
θ
mg
高さｈのところに質量ｍ、長さ L の導体棒を静かにおく。摩擦はなく磁場は
上向きに一定で B とする。抵抗 R を入れ、導体棒と回路をなす。重力加速
class
No.
Name
棒には速度がないので起電力は０V 重力とレールからの垂
解答 No-18
オ） Δ Q=I Δ t とするとｖ＝Δ x/ Δ t だから②から I=BLCos θ /R・Δ x/ Δ t
エ）ある時間経過すると一定の速さｖ ’ になった。このｖ ’ を求めよ。
Δ Q=BLCos θΔｘ /(R Δｔ )・Δ t である。落下した高さΔｈとして
オ）速さｖ ’ になった時の高さをｈ ’ とする。　高さがｈ ’ になるまでに抵抗 R
Δｘ＝Δｈ /Sin θだから dQ ＝ BLCos θ /RSin θ・dh になるので積分し
を通過した電気量 Q を求めよ。
Q=
カ）速さがｖ ’ になるまでに抵抗 R で消費したジュール
熱を求めよ。(m,g,h,h',v' で表せ）
h
h
BL
BL
BL
電流の向きに (h − h)
dh = (h − h)
R tan θ
R tan θ
R tan θ
カ）エネルギー保存則が抵抗と力学的エネルギーの間に成り立つから速さが
キ）以上を考慮し、一定速さｖ ’ になってから高さが h''(h'>h'') になるまでに
ｖ ’ になったとするとジュール熱を W として
導体棒で生成された電気エネルギーが、抵抗で消費されたエネルギー、
mg(h ｰ h’) ＝ 1/2・ｍ v'2 ＋ W　W=mg(h-h') ー 1/2mv'2
力学的に失ったエネルギーに等しくなることを示せ。
キ）オから h’ から h’’ までの間に金属棒を通過した電気量 Q' は
ク）次にある高さ (>h) のところに図のように２R の抵抗をつけ、同じ実験を
である。この時、金属棒の起電力は V'=Bv'LCos θだか
する。この時の一定となった時の速さｖ ’’ を求めよ。ｖ ’ に比べ遅くなる
らここで生じる電気エネルギーは U=Q'V'=
か速くなるか。
これに③式のｖ ’ を代入すると U=mg(h'-h'') となり、
これは運動エネルギー
2R
B
が変化していないので失われた力学的エネルギーに等しい。
さらに抵抗で消費した電力量は W ＝ I²RT、ただし T=(h'-h'')/(v'Sin θ )
正
R
θ
④
これに②を代入すると④式に等しくなり、金属棒で生じた電気エネルギー
ｈ
☆公式・Point
は抵抗で消費されたジュール熱に等しい。
ク）
R
磁場から垂直方向から見ると図のように v''Cos θで
ｖ ’’Cos θ
左に運動する。左側は磁束がへり、右は増えるので図
2R
のような誘導電流 I₁、I₂ が正の方向に流れる。
I₁ ＝ BvLCos θ /R、I₂ ＝ BvLCos θ /2R,I=I₁+I₂ として
②③より v''=2/3・mgRSin θ /(BLCos θ ) ２遅くなる
物理問題集
電磁気
No-19
◎☆ P1　コイルとコンデンサ　自己インダクタンス　単振動　【前問の続き】
電磁気
class
No.
Name
解答 No-19
ア）
回路の式は抵抗がないので V-LdI/dt=0 である。V=BvlCos θだから v=dx/dt
導体のレールを幅 l( 小文字のエル ) で平行にし、水平となす角θとなるよ
として BlCos θ dx/dt ＝ LdI/dt　よって dI ＝ BlCos θ /L・dx
うに傾け、はじめ、高さｈのところに質量ｍ、長さｌの導体棒を静かにおく。
初期条件として x=0 で I=0 だから　I ＝ BlCos θ x/L ③ウと同じ負の向き
摩擦はなく磁場は　上向きに一定で B とする。電流は図の向きを正とする。
イ） ③から I ＝ BlCos θ x/L　だから運動方程式は BlCos θ＝ S として
インダクタンス L のコイルを図のようにレールにつなげる。高さｈから
ローレンツ力 F ＝ ILB ＝ B2l2Cos θ・x/L　フックの法則と同じ
導体棒をレール上で落下させた。高さｈの位置を原点にレールに沿って下　ma=mgSin θー FCos θ＝ mgSin θー S2・x/L　向きに x 軸をとる。
2
2
a=gSin θー S /Lm・ｘ＝ー S /Lm・
（ｘー mgLSin θ /S ）
ア）導体棒の位置がｘの時、コイルを流れる電流 I を図を正の向きとして求め
イ）位置ｘでの運動方程式を示し、これがどういう運動になるか振幅 A と
周期 T、および振動の中心の位置 x0 を求めよ。ただし Blcos θ＝ S　mg
初速はないので中心の位置と振幅 A は等しく、
よって
よ。
（導体棒が下降している時）
A=x0=mgL Sin θ /S2 周期 T=2 π / ω＝２π√（ｍ L）/S　④の単振動
ウ） ω =2 π /T だから初期条件から x0=0 とするとｘ＝ー ACos(2 π t/T)　(l は長さ、この S は面積ではない ) として、以後この S、A、T を用いてよい。
よって微分するとｖ＝２π A/T・Sin(2 π t/T) ⑤
またウ）エ）では振動の中心を x=0 とする。
③から I= － AS/L・Cos(2 π t/T) ⑥　よってグラフは次のようになる。
ウ）時刻ｔでの棒の位置ｘ、速さｖの式を求めてｖ－ｔグラフとコイルを流れ
ｖ
2 π A/T
I
る電流を I として I －ｔグラフを描け。縦軸の目盛りは自ら入れること。
ｔ
エ）導体棒が位置ｘでのエネルギー保存則を示し、説明せよ。
AS/L
ｔ
２T
B
ｘ
２T
2
2
2 2
エ）
④、⑤、⑥より E ＝ 1/2・LI ＋ 1/2・mv ＝ 1/2・A S /L となり
L
正
θ
ｈ
時刻に関係なく一定になるのでエネルギー保存束が成り立っている。
この時、位置 E の mgxSin θはバネの場合のつり合いの位置を伸びの基準に
変えているので無視しないといけない。
オ）次にコイル L をコンデンサ C( 静電容量 C) に交換する。同じように高さｈ
1/2･LI0 のエネルギーが
また、その後どういう運動をするか、加速度があれば求めよ。
x=0 でもあることに注意
振動の中心ｘ =0
h
θ
釣り合いの位置
最下点
ｘ
オ）この時のエネルギー保存則はコンデンサの両端の電圧を V として
B
ｘ
2
自然の長さ
t=0　v=0
ｘの基準をかえると原点で
から導体棒を静かに落下させる。位置ｘでの導体棒の速さｖを求めよ。
ただし、x=0 は高さｈの位置にとる。
F=IlB
2
mgxSin θ＝ 1/2・CV2 ＋ 1/2・mv2 となる。また V=BvlCos θ =Sv だから
θ
C
ｈ
mgxSin θ＝ 1/2・C(Sv)2 ＋ 1/2・mv2 となる。
v=
ｘ =0
ここをｖ
2mgx sin θ
ｘ
等加速運動の公式ｖ
²=2ax
をみたす
CS 2 + m
θ
mg sin θ
α=
コンデンサの容量が一杯になった後は β = g sin θ
CS 2 + m
の等加速運動をする。
h=xSin θ
物理基礎問題集
電磁気
電磁気
No-20
◎ P1．LC 振動　2004　大阪大【電流スタート】
class
No.
Name
解答 No-20
ア）閉じた瞬間ではコンデンサは導線、コイルは抵抗∞と考える。
図のように起電力 E の電池と抵抗値 R の抵抗、インダクタンス L のコイル、
A1 側には流れないから I1=0[A]、I2 ＝ E/R[A]
容量 C のコンデンサからなる回路がある。これに図の向きを正として電流、
イ）直流定常状態ではコンデンサは抵抗∞、コイルは導線と考える。
電圧計をつける。内部抵抗は無視でき、最後以外は電磁波の発生も無視する。
A2 側には流れないから I1=E/R[A]、I2 ＝ 0[A]
はじめスイッチ S は開かれていて、コンデンサは帯電していない。
ウ）定常直流状態になっているのでコイルのエネルギーは
S
ア）スイッチ S を閉じる。この瞬間に電流計
+
A1
A1,A2 を流れる電流 I1,I2 を求めよ。
+
A2
R
C
L
V
UL=1/2・LI2=1/2・LE2/R[J]
+
コンデンサはこの時両端が導線で結ばれているのと同じだから両端の電圧
イ）定常状態 (I1,I2 共に一定の電流 ) になっ
が０V になる。よって UC ＝０[J]
たときの I1,I2 を求めよ。
エ）開いた瞬間はコイルに逆起電力が生じる。電流は連続的に変化する。
ウ）定常状態でコイル、コンデンサに蓄えら
コイルに誘導起電力が生じる、瞬間では定常状態を受け継ぐので I1=E/R[A]　れているエネルギーを求めよ。
この時、コンデンサは電荷 0 であったので導体として振る舞う。よって右の
閉回路をこの電流が循環し、I2= ー E/R[A]　電圧計は０Ｖ
次にスイッチ S を開くと電気振動が起きた。この瞬間の時刻をｔ＝０とする。
オ）LC 振動は T=2 π√ (LC)
エ）開いた瞬間の A1,A2,V の指示値を求めよ。
LC 振動の周期 T= ２π√ (LC)[s] ①
オ）電気振動の周期 T を求めよ。以後この T を用いてよい。
カ）コイル側にははじめ正の向きに最大の電流が流れるからグラフ形は
カ）I1 の最大値を I0 として I をｔの関数で表せ。
[A] ②
Cos の形になり　I=I0Cos(2 π /T・ｔ）
キ）コイルに蓄えられるエネルギー UL をｔの関数で表せ。
キ）エネルギーのグラフはサイン、コサインの２乗の形、負にならない
ク）コンデンサに蓄えられる最大のエネルギーを U0 として静電エネルギー Uc
ク）はじめにコンデンサは帯電していなくて、その後下極板に正の電荷が増え
を求め Uc-t グラフをつくれ。T を書き込むこと。
るので電位グラフはー Sin の形になる。しかし、エネルギーなので②から
ケ）電圧計 V をｔの関数で表せ。I0、T をもちいてよい。
コイルのエネルギーを求めると UL ＝ 1/2・LI2=1/4・LI02(1+Cos(4 π /T・t))
コ）電磁波の発生を考えると電気振動はどうなるか。
エネルギー保存則から UL+Uc=1/2・LI02
また、どういう過程で電磁波が発生するか説明せよ。
U0
Uc=1/4・LI02(1-Cos(4 π /T・t))
Cos2 θ＝ 1/2・(1+Cos2 θ )
U
を利用する。
T/2
T ｔ
ケ）周期がわかっているので V の最大値がわかればよい。
エネルギー保存則から 1/2CVmax2=1/2LI02 だから
☆公式・Point LC 振動　バネとの対応　m →Ｌ，x →Ｑ、v → I、k → 1/C
電流 Max か電荷 Max か
Vmax=I0 √ (L/C) よって V ＝ -I0 √ (L/C)Sin(2 π /T･t)[V]
コ）減衰振動になる。振動電流があるとコンデンサの電場が変化し、これと垂
直方向の空間に磁場が発生する。コイル内の磁場が変化するのでこれと垂直
に電場が生じる、この繰り返しで共振周波数の電磁波が発生する。
物理基礎問題集
電磁気
電磁気
No-21
☆◎ P1　LC 振動　【電荷スタート】
class
No.
Name
解答 No-21
P1 閉じた瞬間はコンデンサは導線なので全てコンデンサに全ての電流が流れ
図のように 30V の電源に 20 Ω ,10 Ω の R1,R2、1000 μ F、500 μ F の
ア）る。よって IA=V/R1=30/20 ＝ 1.5A　VA= ０V
C1，C2、200mH のコイル L がある。はじめ C2 のみ 5mC の電気量を帯電さ
時間がたてばコンデンサは充電され電流は流れない。よって
せておく。電位は G 点をアースしたとして考えよ。電磁波の発生は考えない。
IA ＝ V/(R1+R2)=30/30 ＝ 1.0A　VA=IR=1 × 10 ＝ 10V
R1
S1
A
R2
S3
S2
C
B
C1
C2
ア）はじめ S1 のみ閉じる。
D この瞬間に抵抗とコンデンサに流れる
イ）電位の式は Q1/1m ＝ Q2/0.5m　から２Q1=Q2
はじめ、C1 には Q=CV=1m × 10=10mC の電気量が帯電しているから
L 電流を求めよ。また A 点の電位を求めよ。
電荷保存則から (10+5)m ＝ Q1+Q2=3Q1 Q1=5mC,Q2=10mC
時間がたった後もどうなるか求めよ。
G
よって C 点を通過した電気量はΔ Q=10mC-5mC=5mC
ウ）電位の式がー Q/C=L ｄ i/dt だからもう 1 回ｔで微分すると
・・
イ）十分時間が経過後 S1 を開き、S2 を閉じる。C1,C2 に蓄えられた電気量を
i ＝ー i/LC
・
・
これは単振動の式 x=- ω 2x の形であるから
求めよ。また、スイッチ S2 を入れてから C 点を通過した電気量を求めよ。
LC で単振動が起こるのでω＝ 1/ √ LC である。ω＝ 103/10=100[rad/s]
以下電流の正の向きは C から D を正とする。
t=0 では電荷はコンデンサに最大で 10mC あり、電流は０A
ウ）次に S2 を開き、S3 を閉じる ( この時を t=0) 容量は C、自己インダクタン
またエネルギー保存則を使うと電流の最大は 1/2・LI2 ＝ 1/2・Q2/C から
スは L とし、A 点の電流 i についての関係式を立て、角振動数ω、i、C 点
I2=200m/200m=1 よって最大で 1A である。これから初期条件より
の電位 V を求めよ。また I － t、V-t グラフを描け。さらに I-t グラフには
I=Sin(100t)　V=Ldi/dt から　V=20Cos(100t)
コンデンサ内を流れる電流のグラフも重ねて描け。
コンデンサには位相がπずれた電流が流れる。
（赤）
I [A]
エ）コイルに蓄えるエネルギーの最大値を求めよ。またその時の V,I を求めよ。
V [V]
コイル
1.0
20
オ）周期 T を求めよ。πを用いてよい。また t=0 から t=T/4 までに回路が
消費したエネルギーを求めよ。このエネルギーは何になるか。
カ）この運動をばね定数ｋのバネに質量ｍのおもりをつるし、つりあいの位置
ｔ
ｔ
２T
２T
コンデンサ
を原点にして鉛直上向きをｘ軸の正にとる。この LC 振動に対応したｘ－ｔ
エ）1/2・LI2=0.1[J] この時静電エネルギーは 0 で I は最大１A,V は０V
グラフを描け。
オ）T= ２π / ω＝π / ５０[s] 十分 T より大きければ仕事は０だが
P=VI ＝ 20Sin(100t)Cos(100t)=10Sin(200t) である。
この周期は 1/2 になる。よって P=10Sin(4 π t/T) として T= π /50 から　W=
☆公式・Point
0
T/4
Pdt = 10
T/4
0
t
20T
= 0.1[J] sin 4π dt =
T
4π
ｘ[ｍ]
カ）この運動は始めにバネのエネルギー
ｔ
を最大にためて、正方向に運動して
２T
いくので x － t はー Cos のグラフ
物理基礎問題集
電磁気
No-22
P1．磁場と電場と帯電体の運動
◎ｚ
ｙ
ｘ
ｍ、ｑ
Ｌ
電磁気
class
No.
Name
解答 No-22
P1 ア）半径ｒとすると遠心力とのつりあいから mV2/r=qVB より
図のように 0 ≦ｘ≦Ｌの領域Ｌに一様な磁場Ｂ，と
ｒ＝ｍＶ / ｑＢ [m]
電場Ｅをかけれる装置がある。この装置に電荷ｑ（正）
イ）円運動の周期Ｔ＝ 2 π / ω＝ 2 πｒ / Ｖ、
Ｔの半分だからｔ＝πｍ / ｑＢ [ ｓ ]
質量ｍの帯電体を原点からｘ軸の方向に速さＶで入射
ウ）ｚ、ｘ座標は明らかに０でローレンツ力はーｙ方向を向くので
させる。
（ｚ軸は紙面裏から表にとる、単位は標準単
アからｙ＝ーＲ＝－ｍＶ / ｑＢ [ ｍ ]　O(0, －ｍＶ / ｑＢ ,0)
位をつけること）
エ）電場はローレンツ力を打ち消す向きなので＋ｙ方向
ア）最初に＋ｚ方向に磁場Ｂのみをかける。その後帯電体は円運動をした。
Ｆ＝ｑＥ＝ｑＶＢだからＥ＝ＢＶ [V/m]
この円運動の半径を求めよ。
イ）円運動をしはじめてからある時間ｔに帯電体はｘ＜０の領域に水平に飛び
出した。この時間ｔを求めよ。
ウ）イの時、原点でのローレンツ力の向きと円運動の中心の座標 O(x,y,z) を求
めよ。
エ）次に磁場に加えてある方向に電場Ｅを加えると帯電体は速さＶでｘ方向に
オ）速度Ｖで x 方向に動いて観測すれば円運動をする。この円運動のｘ成分
をまず考える。この時ωはアからω＝ V/r ＝ qB/m
つまり角速度はｖ（速さ）を含まない。
ｘ成分は uCos( ωｔ ) なので　相対速度 vx’=uCos(qB/m･t) だから
vx=V+uCos(qB/m・t)[m/s]
等速運動をした。加えた電場の向きと大きさを求めよ。
カ）y 方向も同様に V が０だから相対速度 vy’=-uSin(qB/m･t)
電場と磁場を維持したまま入射する帯電体の速度を x 方向に
よって vy= ー uSin(qB/m・t)[m/s]
Ｖ＋ u（u<V）に変えた。原点に入射した時刻をｔ＝０とする。
キ）v の向きにローレンツ力は垂直なので仕事をしない。よって
オ）エの結果をうまく利用して（観測系を変化させる）時刻ｔでの帯電体の速
ーｙ方向の電場のみ考慮してＷ＝ F･s= ー qEa エの結果から
さのｘ成分 vx を求めよ。
（t は領域 L 内にとどまる時間内とする）
W= ーｑ BVa [J]
カ）同様に時刻ｔでの速さのｙ成分 vy を求めよ。
ク）はじめのエネルギーにキの結果を加えればいいので
キ）領域 L 内のある位置 A のｙ座標が－ a(a は正 ) の時、この位置 A を帯電体
K=1/2m(V+u)2 ーｑ BVa [J]
が通過した。原点から位置 A までに磁場と電場が帯電体に対してした仕事
ケ）オのような観測系では円運動であったのでウより a=2r の時、運動エネ
W を求めよ。
ルギーは vy 成分がないので最小になる。この系では速さ u で等速円運動し
ク）A 点での帯電体の運動エネルギー K を求めよ。
ているので端にくるまでの時間は半円を描く時間に等しい。mu2/r=qVB より
ケ）やがて帯電体は領域 L の外に飛び出す。飛び出す時の運動エネルギーが
r=mu/qB
最小になるような L の中で最短の L の値を求めよ。(V,u を結果に用いてよい）
よってｘ方向は vx=V+ux だから ux については半円を描き元に戻るの無視し、
また、この時、入射してから飛び出すまでの時間も求めよ。
L ＝ V ｔ =m π V/qB[m]
t= π r/u= πｍ /qB[s] である。
コ）飛び出した瞬間の帯電体の位置のｙ座標を求めよ。
☆公式・Point
ローレンツ力は仕事をしない。
コ）ケの結果からｙ＝－２ｒ＝ー 2mu/qB [m]
物理基礎問題集
電磁気
電磁気
No-23
☆ P1．電磁場のある斜面上の運動　2007 大阪大改
class
No.
Name
解答 No-23
ア）ローレンツ力 F は磁場に対する速度できまる。F=qv × B から
磁束密度 B の一様な磁界が下向きにある。重力加速度はｇとする。図１の
max=-evyB
ように十分広いなめらかな平面に x、y 座標をとり、これと鉛直にｚ軸をとる。
ア）ある位置での帯電体の x､ y 方向の速さ vx,vy(>0)
加速度 ax,ay として x、y 方向の運動方程式を縦立てよ。
B
y
θ
◎ｘ
また、帯電体はどういう運動をするか。周期も求めよ。
x
イ）次に面を図２のようにｙ軸をθだけ傾ける。この時、帯電体に働く垂直抗
力を求め、x､ y 方向の運動方程式を求めよ。
N
z
図１
z 図２ B
ウ）質点を原点から初速 v0 で x 軸の正方向にに向け
T=2 π R/v=2 π m/eB
mv /R=evB から v=eBR/m
この面上に質量ｍ、電荷 e(>0) の帯電体を原点に置いた。
z
may=evxB ① 外積なので円運動する。円運動の釣り合いから
2
B
y
F=evxB
mg
イ）図から N=mgCos θ＋ evxBSin θ
運動方程式は
max= ー evyBCos θ
may=evxBCos θー mgSin θ　②
ウ）vy が０なので ax=0 になる。ｙ方向の運動方程式で ay=0 とすればいい。
may=evxBCos θー mgSin θ＝０　これから vx=v0 ＝ mgTan θ /(eB) ③
エ）②に代入すると max=-ewyBCos θ
y
③より may=e(v0+wx)Bcos θ -mgSin θ＝ ewxBCos θ
て水平に打ち出すとその後等速直線運動をした。
①から B を BCos θに置き換えれば vx=wx, vy=wy である。よって
この初速 v0 を求めよ。
アは円運動したので wx2+wy2= 一定となる
エ）この v0 を用いて vx=v0+wx ,vy=wy とおく。
イの運動方程式に代入し、これとアの結果を比べ
θ
x
wx と wy の満たす関係を求めよ。以下 v0 を用いてよい。
オ）　エの結果から v1=v0+wx とすると wx=v1-v0 となりこの速さで円運動し　ているから最高点ではちょうど反対向きになる。よって求める速さは
v0-(v1-v0)=2v0-v1
カ）x 方向に v0 で等速運動する系からみれば帯電体の運動は速さ v1-v0 で円　次に帯電体を原点から x の正方向に速さ v1 で打ち出した。
運動している。この時の遠心力によるつりあいの式は①より B を BCos θと
オ）帯電体が最も高い高さにきたときの vx を求めよ。
して　m(v1-v0)2/R=e(v1-v0)Bcos θ これから R=m(v1-v0)/(eBcos θ )
カ）
原点から打ち出した帯電体が最初に最高点に達した時の x、y 座標を求めよ。
従って最高点の y 座標＝２R=2m(v1-v0)/(eBcos θ )
導出方法も説明すること。
またこの時の x 座標は同じ位置になるが系の速さが加わるから
キ）原点から最高点に至るまでにローレンツ力のした仕事と重力のした仕事を
円運動の周期 T=2 π R/(v1-v0)=2 π m/(eBCos θ ) を利用して半周期だから
求めよ。
x=v0T/2=v0 πｍ /(eBCos θ )
ク）v1=v0+v0 π /4 とする。原点から再び y=0 にもどるまでの xy 平面上の
キ）ローレンツ力は常に速度ベクトルと垂直に働くので仕事をしない。
軌跡を描け。
最高点のｙ座標から高さｈ＝ｙ Sin θ＝ 2m(v1-v0)tan θ /eB だから
よって重力のされた仕事が位置エネルギーの増加分になるから
答えは負になりー mgh ＝ー 2m2g(v1-v0)tan θ /eB
☆公式・Point
ローレンツ力 F は外積で F=qv × B であった。これを成分で表すと巡回し、
Fx=qvyBz ー qvzBy Fy=qvzBx ー qvxBz
カ）v1-v0=v0 π /4 だから最

高点までに x=v0T/2=4R 進
むことを考え作図する。
＊参考サイクロイド


物理基礎問題集
電磁気
電磁気
No-24
☆ P1【磁場のあるレール上の運動　２閉回路】
class
No.
解答 No-24
P １ア）等速運動だからｖ＝Δ S/ Δｔ＝ L/T
図のように１辺 L の針金で正方形が２つあるような回路を作成した。この
ウ）閉回路 CDEF で考えると B のある面積が増えていくので誘導起電力は
針金を一定の速さｖで一定磁場 B のある領域に近づける。辺 EF が丁度磁場の
磁場を打ち消す向きに生じ右ねじから右回りに電流が流れる。この右周り
領域の左端に来た時をｔ＝０とする。時刻ｔ＝ T では辺 CD が領域の左端に来
は小さな閉回路で見ても、大きな ( ２つ分）の閉回路出見ても同じ周り方で
た。磁場の領域は右側には十分長く針金の回路より広い。A から B を正とする。
あることに注意しておこう。この起電力は磁場に対して動くことで面積を作
Ｂ
C
F
L
る辺 EF に生じる。電流の向きから図のように誘導起電力 V をおく。V の大
ｖ
A
D
Name
イ）抵抗の公式からｒ＝ρ L/S
きさは（大文字の V は電位差）
｜ V ｜＝ΔΦ / Δｔ＝ B Δ S/ Δ t ＝ BLv ①
３ｒ
B
i1
E
ア）速さｖを求めよ。以後この速さｖを用いてよい。
V
以後このｒを用いてよい。
A
i2
合成抵抗３ｒ
図のように i1,i2 をおくと左閉回路について 3ri1+(i1-i2)r=0 4i1=i2 ②
ウ）０＜ｔ＜ T の時、AB 間の電位差と辺 AB を流れる電流を求めよ（向きも）
右閉回路について (i2-i1)r+3ri2=V ②より 15i1r=V ①より i1=BLv/(15r) 正の向き
エ）T ≦ｔ＜２T の時、AB 間の電位差と辺 AB を流れる電流を求めよ（向きも）
V=ir より V=BLv/15
オ）
エ）の場合一定の速さｖで引くために必要な力 F を求めよ。針金を
エ）この時右の閉回路ではΦの変化がないので誘導起電力は生じない、しかし
動かすときの抵抗は考えない。
大きな回路で見れば同じように EF に V が生じる。左の閉回路では CD に
カ）T から２T の間に針金で発生したジュール熱を求めよ。
はΔΦ / Δｔが共通しているので同じ V が生じる。右図のように置き換えて
３ｒ
B
イ）針金の断面積を S, 抵抗率をρとする。一辺の抵抗ｒを求めよ。
i1
f1
V
f２
A
i2
左閉回路について 3ri1+(i1-i2)r=V ④　⑤より i1=4i2　⑥
右閉回路について (i2-i1)r+3ri2 ＋ V=V ⑤　④より 15i2r=V i2=V/(15r)
①、⑥より i1=4BLv/(15r), V=4BLv/15
オ）起電力の生じている CD と EF にはローレンツ力が速度ｖと反対向きに働
く F=IL × B だから CD は力は左向き、電流は下向きを正として①、⑥より　☆公式・Point
f1 ＝ (i1-i2)LB=3B2L2v/15r ,EF は f2=i2LB=B2L2v/15r よって F=f1+f2=4B2L2v/15r
カ）発生するジュール熱は F のした仕事に等しいから W=FS より距離 S=vT=L
よって Q=W=4B2L2v/15r ×ｖ T ＝ 4B2L3v/15r
物理基礎問題集
電磁気
電磁気
No-25
P1 ☆◎　ダイオードを含む　コイル　1994　京大改
class
No.
Name
解答 No-25
P1 磁場中で面積を作る導線が起電力 V=d Φ /dt=BvL をつくる。
図のように抵抗値ｒ [ Ω ] の抵抗 R1、R2、R3 とダイオード D1 からなる回
ア）|V| ＝ d Φ /dt=BdS/dt=Bva[V]
R
P
R1
R3
路がある。この回路の四角形 PUTQ は 1 辺 a[m] の正方形で、四角形 QTSR は
向きは上向きの磁束が増えるので下向
縦 a、横 b の長方形であり、ｘｙ平面にある。この回路を辺 PU が y 軸、US
きの磁束をつくるから右ねじから R → S
がｘ軸に平行になるように置き、ｘの方向に一定の速さｖ [m/s] で動かす。
の向き。ダイオードが整流するので右回
この空間には x=0 から幅 L[m] の領域 (0 ≦ x ≦ L) に一様な磁束 B[Wb/m2] の
路と等価になり、I=BVa/2r
磁場がｚ方向（紙面裏から表）にかけられている。ただし a<L<b
＊ i1 で分岐したとすると左小ループでキルヒホ
導線に抵抗はなく、ダイオードは順方向には抵抗０，逆方向には抵抗∞とする。
フの法則から i1r+(i+i1)r=0 i1=-i/2　となるので
また、自己インダクタンスの影響は無視できる。
整流作用から i1=0 である。
ｙ
Q
R2
P
R1
R3
D1
U
a
R3
i
i+i1
の力で正の向きに引く必要がある。仕事は W=FS より
a
b
P
R1 i R2
1
イ）この時辺 RS にはローレンツ力 F=IL × B ＝ B2Va2/2r[N] の力が働くのでこ
磁界の領域
R
S
T
S
W=B2Va2L/2r[J] でこれは抵抗で発生するジュール熱に等しい。
B◎
x
O
L
ウ）起電力を電池にして各閉回路についてキルヒホフの法則を使う。
辺 QT のみ磁場の中に入っているので次のよ
i Q
P
うな回路と等価になる。ダイオードがあるの R1
R
R3
R2
ア）辺 RS が磁界の中 (0 ≦ x ≦ L）にある時、辺 RS に生じる起電力と流れる
で順方向にしか電流は流れない。起電力は同
電流 ( 向き ) を求めよ。
じ BVa だから QT を流れる電流を i として
イ）アの時、一定の速さｖで動かすのに必要な力を求めよ。またこの期間　左ループでキルヒホフの法則から
左回路の磁束は増え、右は減る
(0 ≦ x ≦ L）に外力のした仕事と抵抗で発生したジュール熱を求めよ。
ir-BVa=i1r ①
①、②より i1=i/2
ウ）辺 QT が (0 ≦ x ≦ L）にあり、辺 PU はｘ≦ 0 にあるとき辺 QT を流れる
右ループでキルヒホフの法則から
①より
電流 ( 向き）を求めよ。
ir-BVa=(i-i1)r　②
3ir/2=BVa
エ）
辺 QT,PU 共に (0 ≦ x ≦ L）
にある時辺 QT,PU を流れる電流 ( 向き ) を求めよ。
オ）
最後に辺 PU のみが (0 ≦ x ≦ L）
にある時 PU を流れる電流 ( 向き ) を求めよ。
を i として図のような等価回路になる。
i
P
R1
S
i=2BVa/(3r)
Q
i1
R
R3
R2
i+i1
大ループでキルヒホフの法則から
☆公式・Point
i-i1
T
エ）PU は大回路、OT は右小回路に分ける。
起電力は共に BVa だから PU を流れる電流
i1
S
T
ir-BVa+(i+i1)r=0 (2i+i1)r=BVa ①
右回路と大回路共に磁束は減る
右小ループでキルヒホフの法則から
①、②より i=i1　③
i1r-BVa+(i+i1)r=0 (2i1+i)r=BVa ②
① , ③より i=i1=BVa/(3r)
オ）先と同じだが電池は PU に 1 つになる。
これは結局ア）と同じなので
I=BVa/2r となる。
i
P
R1
Q
R
R3
T
S
物理基礎問題集
電磁気
電磁気
No-26
◎☆ P1．誘導起電力　円形　2011 年東工大改
ア）線分 OQ が図のように磁場 B に垂直に有効な面積を作るのでここに誘導起電力が生じる。
図 A のように単位長さあたり R の抵抗の針金で半径 a の円と直径を組み合
大きさを求めると V= ΔΦ / Δ t= Δ (BS)/ Δｔ =B Δ S/ Δｔである。面積速度が惑星の運動
わせた回路をつくる。この回路をはじめ図の y ≦０の領域のみに紙面裏から表
の所でやったことを思い出せば公式はΔ S/ Δｔ＝ 1/2・ｒ２ωであった。また図からも弧の
に一定の磁束 B があるところで原点を中心に一定の角速度ωで反時計回りに
長さは a Δθだから
回転させる。図の状態を t=0 とする。( 自己インダクタンスは無視してよい )
E = B DS = 1 a aDi = B a ~
2 Dt
2
Dt
A
a
Q
ア）時刻 t(0<t< π / ω）の間に OQ 間に発生
ｙ
ω
O
P
B
ｘ
Q
B
R
a
O
S
a Δθ
Δθ
a
半径が a なら弧
の長さは a Δθ
以後この E を用いてよい。
抵抗で発生するジュール熱がエネルギーを奪うのでこれを加えていれば等速円運動を続け
イ）この間一定の角速度ωで回転を続けるのに
る。そこで下の回路の仕事率 P を求めればよい。抵抗は単位長さ当たり R なので
必要な外力のする仕事率を求めよ。
R1=R3= π Ra、R2=2aR である。結局キルヒホフの回路問題となり図のようなループを考る
と R1、R3 を流れる電流を i とすれば R2 は 2i 流れるから
i
2i
R1
どちらのループについても同じ式ができる。π Rai+4aRi=E が得
i
R3
R2
られるので i=E/aR( π +4) よって R1,R2,R3 で消費される電力を
P1,P2,P3 とすると P=i2R より電力の和が仕事率だから
2
rE 2
E
m rRa =
aR (r + 4)
aR (r + 4) 2
2
2E
8E 2
P2 = c
m 2Ra =
aR (r + 4)
aR (r + 4) 2
2
2E 2
` P = P1 + P2 + P3 = 2E (r + 4)2 =
aR (r + 4)
aR (r + 4)
P1 = P3 = c
E
で反時計回りに回転させる。各点での電位を
VP、VQ、VR、VS、VO とする。時刻 t が
P
ω＝Δθ / Δｔだから起電力の大きさは
2
ウ）図の位置を t=0 として先と同様に角速度ω
ｙ
Name
イ）線分 OQ に起電力 E を置いた下図の抵抗回路と等価である。　次に図 B のように QP に加えて同じ長さの針金
ω
No.
する誘導起電力の大きさ E を求めよ。
RS を QP に直交させ、回路に加える。
B
class
解答 No-26
0 ＜ｔ＜π /2 ωの時、これらの電位を大き
い順に並べよ。
（等号、不等号を用いよ）
エ）時刻 0 ＜ t ＜π /2 ωに針金 OQ を O → Q
ウ）線分が動いた時の面積が磁場に対して垂直であれば起電力が生まれる。
に流れる電流 IOQ を E,R,a, ωから必要なも　ω＝ 2 π /T だから時間の範囲は０から T/4 までで 1/4 周である。この時図から線分
のを用いて表せ。
OQ,OS は磁場内にあるから同じ起電力である。VQ=VS、線分 OP,OR は磁場の外にあ
り、起電力が生じることなく、等しい VP=VR、VO は回転の中心なので面積そのも
A
i
R2
☆公式・Point 等速円運動の棒 L の起電力は V=1/2・BvL
磁場に垂直に面積ができれば起電力 V= ー d Φ /dt Φ＝ BS
複雑な電気回路は対称性を使え、対称点は等電位で電流は流れない。
i
エ）左図のような回路と等価だから R1=aR,R2= π aR/2 であ
B
る。この回路は中央で左右対称なので対称点では等電位にな
R1
R1
R2 ることを利用すると図の AB,CD,EF は等電位で電流が流れな
C
R1
D
R1
い。従って右の１つのループに流れる電流は全て i としてよ
i
E
い。よって iR1-E+iR2+iR1=0 i(2R1+R2)=E だから
E
E
R2
i
R2
のが生じない。よって順位は VQ=VS ＞ VP=VR ＞ VO
F
i (2aR + raR/2) = E
i=
2E
2E
4aR + raR = aR (4 + r)
物理基礎問題集
電磁気
電磁気
No-27
◎☆ P1．
【続き】誘導起電力　円形　2011 年東工大改
class
No.
Name
解答 No-27
ア）線分 OQ に起電力 E とコイルを置いた下図の抵抗回路と等価である。　次に図のように PQ の抵抗の値を変えないで中心 O に小さなコイルを挿入す
抵抗は単位長さ当たり R なので R1=R3= π Ra、R2=2aR ①である。IPQ ＝ i　る。回路とコイルとの相互インダクタンスは無視する。また、外部磁場中でコ
とおき、i がある時にコイルは誘導起電力を発生するので図のように E と反
イルが運動することにより生じる電磁誘導も無視する。先と同様に角速度ωで
対向きの E' ＝ Ldi/dt を置く前問と同等に図のようなループを考ると R1、R3
反時計回りに回転させる。図の状態を t=0 とする。
を流れる電流は等しいので i/2 である。またグラフから di/dt=I0/T ②である。
ω
ｙ
原点での接線
Ｉ PQ
i/2
E'
Ｉ０
R1
Q
a
P
よって右ループについいてキルヒホフの式を立てると
i/2
P
E' ＋ iR2-E+iR3/2=0　これに①、②の関係を代入し、
i
E' ＋ i2aR-E+i π Ra/2=0
R3
R2
E' － E ＋ iaR(4+ π )/2=0 ③
ｘ
E
Ｔ
定常状態になった時は i=I0 で電流変化がないので
Q
ｔ
B
ω
E'=0 よって③から E=I ０aR(4+ π )/2 ④が成り立つ。
ｙ
次にｔ＝０の時は i はほとんど０と考えれば③から
E'=E が成り立つので LI0/T ＝ E ⑤、よって④より
ア）図左がｔ＝０の状態として反時計回りに角速度ωで回転させる。すると
P
Q
a
コイルをＰ→Ｑの向きに流れる電流は図のようなグラフになった。
（点線は
補助線）この時のコイルの自己インダクタンスを図のＥ、Ｒ、ω、a、T　ｘ
イ）電流に変化が生じるのは図のようにはじめから
B
の内必要なものを用いて表せ。
πだけ回転した時である。よって時間はｔ＝θ / ω
丁度 PQ が入れ替わり、
イ）さらに時間が経過すると時刻 t1 で電流は I0 から変化がおこった。この時
π 回転したところが t1
刻 t1 を求めよ。しばらくすると電流は反対向きに I0 になって落ち着いた。
で、電流が逆に流れよう
さらに時間がたつと同じように今度は正の向きに I0 になる変化が周期的に
繰り返された。この時刻 t1 でコイルはどの位置にきているか図示せよ。
ウ）イのように負の向きに I0 が流れるまでの I-t グラフを作図せよ。また、
上図右の原点での接線のように点線で時刻 t1 での接線を引き、
で急な変化ほど誘導起電
dI/dt は I-t グラフの傾きであり、これが０なら誘導電圧も０
i/2
になだらかに変化する。
Ｉ PQ
i/2
Q
πだけ変化したので図のように PQ
E''
R3
i
R2
力が大きくなり図のよう
E
R1
を反転させて考える。この時 P が
正になって起電力が生じている。
P → Q の向きを統一して i とする。
P
ウ）誘導電圧を E'' ＝ LdI/dt とおくと
T
キルヒホフの法則から左ループでは
ｔ1
自己インダクタンス L とし、誘導電圧は反対向きに V=LdI/dt である。
から t １= π / ω
とするがコイルがあるの
これと I= － I0 を延長した線との交点のｔの値を t2 としてこの t2 を求めよ。
☆公式・Point ＊コイル、コンデンサの波形は実際に観察しておくこと。
LI0/T=I ０aR(4+ π )/2　よって L=aRT(4+ π )/2
T
ｔ2
i2aR-E’’+i π Ra/2+E=0 t1 直後では④より
ｔ E''= ２E が得られる。よって⑤から直線の
傾き dI/dt は 2 倍になる。
よって t2-t1=T イ）から時刻 t2 ＝π / ω＋ T
物理基礎問題集
電磁気
No-28
☆ P1 動くコイル　誘導起電力の発生場所　2012 東大　改
電磁気
class
No.
Name
ア）X=vt ①であり、図のように磁場の突き抜ける回路内
解答 No-28
P1 v
下図のように xy 平面上に置かれた１辺 2a の回路を等速度ｖでｘ軸の正の
の面積 S は一定の割合で変化している。三角形の面積か
方向に動かす。回路の左下の点 P と右下の点 Q は常にｘ軸上にあり Q 点の座
ら S=1/2・v2t2 となるので起電力の大きさはΦ＝ BS か
Q(X,0)
R
標が (X,0) である。磁束密度 B が一様な磁場が図のｙ＜ｘの領域のみに紙面裏
から表にかけられている。導線の太さ、抵抗、回路を流れる電流がつくる磁場
の影響は無視できるとして次に答えよ。向きはｘ方向を正として答えよ。
y
抵抗 R
Q
S
を求めよ。
P
2a
Q(X,0) O
a
P
2a
抵抗 R
抵抗 R
抵抗 R
a
P
x
ウ） 2a<X<4a の時、回路が磁場から
受ける力のｘ成分を求めよ。
抵抗 R
抵抗 R
ける力のｘ成分を求めよ。
向きは面積が増えるのでもと B を打ち消すように誘導
電流は流れるから Q → P　つまり負の向き
R イ）回路が動くことで面積ができるのは図の RQ 部分だけ
2a-vt
イ）0<X<2a の時、回路が磁場から受
B
v
よって回路を流れる電流は I=V/R=BvX/R　③
X
ア）0<X<2a の時、PQ を流れる電流
2a
ら①より V= ｄΦ /dt ＝ 1/2・Bv2 d(t2)/dt=Bv2t=BvX ②
vt
であり磁場のあるところに入っている長さは X だから
③よりローレンツ力の式から F=IL × B ＝ B2X2v/B
Q
右ねじから向きは Q → P　負の向き
2a+vt
ウ）磁場の中で面積をつくるのは図の RQ と PS である。RQ の磁場の中にあ　P
る長さは常に 2a だが PS は vt となり変化する。また、X=2a+vt ④とな　次に動かす回路を左図のように半分のところに同じ抵抗 R
るから閉回路の中で磁場を横切る面積 S は上図の 2a-vt の縦横の三角形部　を入れたものに置き換えて同じ実験をする。
分のみが磁場を含まないので S=4a2-1/2・(2a-vt)2 これから④より vt=X-2a
エ）a<X<2a の時、PQ 間を流れる電流を求めよ。
V=BdS/dt=Bv(2a-vt)=Bv(4a-X) ⑤これから I=V/R=Bv(4a-X)/R ⑥電流の向　きは S が増えていくので変化はなく Q → P(R → Q) の向き、よって RQ か　次に動かす回路を左図のように半分のところと下部の３カ
かる力は右ねじから負、SP は正になる。ローレンツ力の式から FRQ=-2aIB
所に同じ抵抗 R を入れたものに置き換えて同じ実験をす
④から FSP=vtIB=(X-2a)IB だから⑥より F=FRQ+FSP=IB(X-4a)=B2v(X-4a)2/R
る。
オ）a<X<2a の時、PQ 間の抵抗 R を流れる電流を求めよ。
向きは RQ の方が大きいので Q → P　負の向き
S
i2
R
2a
a
P i1
S
i2
☆公式・Point
磁場に垂直に面積ができれば起電力 V= ー d Φ /dt Φ＝ BS
TR の長さは (X-a) になる。この長さに比例して起電力
Bv(X-a)
が生じるから②より左図のように電源を分けて回路を
T
Bva 考えればよい。あとはキルヒホフの問題になる。QP
Q
を流れる電流を i1、SR を流れる電流を i2 として下と
上の閉回路についてキルヒホフの法則から負の向きに
R
T
運動により磁場内で面積をつくる回路部分の導線に起電力が生じる。
導線の起電力は磁場のある長さに比例する。
X-a
P
Q
i1
エ）
起電力は PQ で生じるので磁場中 TQ の長さは常に a、
(i1-i2)R=Bva (i2-i1)R+i2R=Bv(X-a) これから i1=Bv(X+a)/R
オ）同様にキルヒホフの法則から下と上の閉回路で
Bv(X-a)
(i1-i2)R+i1R=Bva
(i2-i1)+i2R=Bv(X-a)
Bva これから i =Bv(X+a)/3R 負の向き
1
物理基礎問題集
電磁気
No-29
☆ P1 【前問の続き】動くコイル　誘導起電力の発生場所　2012 東大　改
電磁気
class
No.
Name
カ）この回路に抵抗が記述されていないのでオームの法
解答 No-29
＋
下図のように xy 平面上に置かれた１辺 2a の回路を等速度ｖでｘ軸の正の
方向に動かす。回路の左下の点 P と右下の点 Q は常にｘ軸上にあり Q 点の座
Bv
標が (X,0) である。磁束密度 B が一様な磁場が図のｙ＜ｘの領域のみに紙面裏
から表にかけられている。導線の太さ、抵抗、回路を流れる電流がつくる磁場
の影響は無視できるとして次に答えよ。向きはｘ方向を正として答えよ。
則から過大な電流が流れるのではという疑問は正し
R
Q(X,0)
P
いがここでは抵抗の問題は無視し単純に考える。　先と同様に②から線分 RQ にのみ起電力
V=Bv2t が生じるから Q=CV、I=dQ/dt から回路を流
れる電流 i=CBv2 ⑥となる。Q → P の負の向き
次に動かす回路を下図のように電気容量 C のコンデンサーに置き換えて同
じ実験をする。
カ）a<X<2a の時、PQ を流れる電流を求めよ。
S
キ）2a<X<4a の時、PQ を流れる電流と
キ）ウと同様に⑤からコンデンサには
＋
R
回路が磁場から受ける力のｘ成分を求めよ。
でコンデンサ誘導起電力よりコンデンサに帯電され
た電圧の方が大きくなることに注意する。よって電
P
コンデンサー C
V=Bv(4a-X)=Bv(2a-vt) の電圧がかかるが X>2a なの
Q(X,0)
流は図のように流れる。
Q=CV、I=dQ/dt から i=CBv2 で電流の大きさは変
わらないが向きは P → Q で正の向き
y
ローレンツ力は FSP がウと同様に磁場のある部分の長さが (X-2a) だから
2a
v
P
2a
Q(X,0) O
FSP= ー i(X-2a)B 向きは右ねじから Q → P　負の向き
B
x
☆公式・Point
コンデンサは Q=CV、直流では電気量がたまってしまえば電流は流れない。
電流 I ＝ dQ/dt　ローレンツ力 F=IL × B　外積の向き
また FQR=i2aB で P → Q 正の向きでこちらの方が大きい
よって⑥から F=FSP ＋ FQR ＝ iB(4a-X)=CB2v2(4a-X) で負の向き　物理基礎問題集
電磁気
電磁気
No-30
◎☆ P1. ローレンツ力と円運動　東北大改
class
No.
Name
解答 No-30
P1　ア）棒内部の電子に働くローレンツ力は大きさが F=qv × B だったから
図１のように質量ｍで帯電していない長さ PQ= ｒの導体棒 A がある。　F=Bev[N] で電子が負の電荷を持っているので電子は遠心方向に力を受ける。
真空中ｘｙ平面内において点 P のまわりを端点が速さｖ 0、半径ｒの等速円運
イ）総自由電子に働くローレンツ力が qv × B0 となる。v × B0 は外積なので
動を図の向きにしている。いま、磁束密度 B の一様な磁場がｚ方向の向きに
v と B のつくる面積がその大きさになる。
かけられ、はじめは B=B0 で一定とする。電位の基準は中心 P を０[V] とする。
図１
図2
ｚ
B
ｘ
ｒ
P
図3
ｚ
B
ｙ
ｘ
Q
v0
ｒ
P
従って図のように平行に進む場合の半分になる。
B
よって回転するときのローレンツ力
F=1/2・qv0B0 だから電場 E を仮定すると F=qE だか
ｙ B1
ら E=1/2・v0B0 となる。電位差は V=Ed から
ｔ
A
v
0
ｔ1
V=1/2・B0v0r となる。電荷が負なので P が＋になる。
ウ）実際には導体なので内部の電場は E=0 である。
ア）棒の端点 Q にある電子（電荷 -e) に働くローレンツ力の向きと大きさを
エ）速度ｖは常に B と垂直なので物体がΔ t 秒間に掃く面積Δ S として　求めよ。
Δ S=1/2・r2 Δθ　B=B0 で一定だからファラデーの法則から
イ）レールを平行に導体棒がｖで運動する場合に比べ、このように 1 つの端
起電力 |V|= ΔΦ / Δ t=B Δ S/ Δｔ＝ 1/2・B0r2 ω　v=r ωから
が固定され、回転する場合は速度ｖと磁場 B のつくるベクトルに相違が生
|V|=1/2・B0v0r[V]　P が＋なので V= － 1/2・B0v0r[V]
じる。この違いを考慮し、電子に働く力から仮に導体棒内に一様な電場 E　オ）等速円運動をしているので円の大きさは変わらない。面積 S= π r2 である。
があるとするとｖ ₀ と B₀ でどう表されるか求めよ。またこれから導体棒に
そこで |V|=| ΔΦ / Δｔ | だから V= π r2 Δ B/ Δｔ①である。
生じる電位差 V を求めよ。
0<t ≦ t1 の時　図３からΔ B/ Δ t ＝ B1/t1 と一定に決まるから①より
エ）ファラデーの法則から棒点 Q の電位 V を P を 0[V] として求めよ。
V= π r2B1/t1 になる。円周の長さｄ =2 πｒだから E=V/d から
E
E=rB1/(2t1) の電場が軌道上にできていることになる。
次に円軌道に沿った電場を考える。図 2 のように電荷 q(q>0) を持ち、
電子の電荷が負だｋら電場の向きは電子の進行方向
質量がｍで大きさを無視できる物体 A がある。この物体は長さｒの絶縁体
と反対になる。t<0,t>t1 の場合は S も B も一定だから
のひもにつながれ、点 P のまわりを速さｖ０、半径ｒの高速な等速円運動を
ΔΦ＝０、よって V ＝０である。
図の向きにしている。いま、磁束密度 B の一様な磁場がｚ方向の向きにか
接線方向には 0<t ≦ t1 の時、F= ｑ E から F=qrB1/2t1 の力が進行方向に働く
けられ、
図３のように変化し、摩擦や電磁波の発生は無視できるとする。
カ）F=ma から a=qrB1/(2mt1) で 0<t ≦ t1 の時は等加速運動をする。
オ）物体 A の軌道に沿った電場の強さ E を求め、E-t のグラフを描け。
v1 ＝ v0 ＋ at=v0+qrB1/2m　②
また、物体 A に働く接線方向の力と向きを求めよ。
キ）t=0 では磁場 B=0 なのでローレンツ力が
カ）円運動の速さｖの v － t グラフを描け。また t=t1 の時の速さ v1 を求めよ。
働かない。よって遠心力とのつりあいから
ウ）実際の導体棒内の電場を求めよ。
キ） t=0 と t=t1 の時での糸の張力の変化Δ T を求めよ。
☆公式・Point
荷電粒子の円運動：B が変化すると接線方向に電場ができ、加速する。
向心方向にはローレンツ力が働く。
2
T0=mv0 /r　t=t1 では B=B1 だから
F=qv1B1 の力が向心方向に加わる。
ｔ
ｔ1
0
v
v0 ＋ at1
v0
ｔ
0
ｔ1
よって T1 ＝ mv12/r―qv1B1 となるから②より
Δ T ＝ T1 ー T0 ＝ m(v12 ー v02)/r―qv1B1=q2B12r/(4m) となりｖに無関係である。
物理問題集
電磁気
電磁気
No-31
◎☆ P1. うず電流　2007 東大改
class
No.
Name
解答 No-31
P1　ア）リングに S 極が近づくとリングは S 極をつくり妨げようとする。
図１a のように中空の導体棒の中に上を N 極にして磁石を落下させる。ある
よってリングの手前が左向き、上からみて右回りの電流が流れる。
時間たつとこの磁石は一定の速さで落下するようになった。これは磁石が導体
力の向きは反発するから上向き。遠ざかるときは力の向きは上向きだが
の近くを通ると電磁誘導がおこり、誘導電流が流れるためである。この現象を
磁場が反対になるので電流の向きは上からみて左回りの電流が流れる。
理解するために図１b のように導体棒を無数のリングコイルに分割する。まず、
イ）単コイルとして考えると V= ΔΦ / Δ t （大文字の V は電圧）
簡単のために図２のように１つのリングを考え、磁石はリングの中心を速さｖ
グラフからΔΦ / Δ z ＝Φ ₀/(b-a) ②
で通過するとする。リングの中心から鉛直上方にｚ軸をつくる。
V= ΔΦ / Δｔ＝ΔΦ / Δｚ・Δｚ / Δｔ＝ΔΦ / Δｚ・ｖ　②より
ア）磁石がリングに近づく時と遠ざかる時についてリングに流れる電流の向き
V= Φ ₀ ｖ /(b-a) ③
と誘導電流が磁石に及ぼす力の向きを求めよ。
ウ）アからはじめ負の向きに電流が流
イ）磁石の中心の位置がｚにあるとき z= ０のにあるリングを貫く磁束を図３
のような台形で近似する。( 磁束の正の向きを上向きにとる )
れる。この間の時間は (b-a)/v
Φ ₀v/R(b-a)
③より流れる電流は
磁石が通過する前後に生じる誘導起電力を求めよ。
V/R= Φ ₀v/R(b-a) ④次に 2a/v の時間
ウ）リングに電流が流れはじめる時間を t= ０とし、リングの抵抗を R とする。
はΦが変化しないので電流は０
一定の速さｖで通過するとしてリングに生じる電流 I の I-t グラフとリン
最後に遠ざかるときは電流の大きさは
グの電力 P-t グラフを描け。電流は上向きに右ねじが進む向きを正とする。
はじめと同じで反対向きになる。
次に図１b のようにリングコイルを蜜に積み上げるモデルに拡張する。鉛直
電力 P=I2R から④より { Φ ₀v/(b-a)}2/R
方向のリングの単位長あたりの密度をｎとする。
で負になることはない。
0
I(t)
(b+a)/v
(b-a)/v
ｔ
2b/v
- Φ ₀v/R(b-a)
P(t)
{ Φ ₀v/(b-a)}2/R
エ）磁石が速さｖで落下するとき、積み上げられたリング全体から発生する　0
2a/v
(b-a)/v
(b-a)/v
ｔ
単位時間当たりのジュール熱を求めよ。
エ）単位時間当たりのジュール熱は全抵抗の電力に等しい。
オ）磁石の質量を M とする。空気抵抗は考えない。それでも磁石は導体棒の
t=2b/v 間に１つのリングから発生する仕事は P-t グラフの面積から上図の
中を一定の速さで落下する。この時の速さｖを求めよ。
面積から W= Φ ₀²v²/{R(b-a)2}・２(b-a)/v 距離 2b の間に N=2bn 個のリ
カ）磁石が落下中に回転し、N と S が反対になった。この時、磁石の運動はど
うなるか説明せよ。
ングがあるのでｔ秒間当たりの仕事は N 倍され W=4bn Φ ₀²v/{R(b-a)}
単位時間で考えるにはこれを t で割ればよいから求めるジュール熱 Q は
極
Q=Wv/2b=2n Φ ₀²v²/{R(b-a)}

極
オ）先の結果から単位時間当たりのジュール熱が与えられているので
磁力線
単位時間に落下する高さは h=vt だから h=v、エネルギー保存則より

Φ(z)
極
Mgh=Q よって Mgv=2n Φ ₀²v²/{R(b-a)}
Φ
v=MgR(b-a)/{2n Φ ₀²}
カ）磁場 B と電流 I の向きが共に反対になるが電磁力は F=IL × B であったの
極
で同じ向きに働く。よって回転が短時間であれば落下運動に変化はおこら

コイル
(a)
図１
(b)
図２
-b
-a 
図３
a
b

ず等速で落下していく。

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